و مبرهنة بايز هو الإجراء الذي يسمح لنا ل تعبر عن الاحتمال الشرطي للحدث عشوائي ونظرا B، من حيث التوزيع الاحتمالي لهذا الحدث A و B منذ توزيع احتمال الوحيد A.
هذه النظرية مفيدة للغاية ، حيث يمكننا بفضلها ربط احتمالية وقوع حدث "أ" مع العلم أن "ب" قد حدث ، مع احتمال حدوث العكس ، أي حدوث "ب" مع مراعاة "أ".
كانت نظرية بايز اقتراحًا فضّيًا من قبل القس توماس بايز ، وهو عالم لاهوت إنجليزي من القرن الثامن عشر كان أيضًا عالمًا في الرياضيات. كان مؤلفًا للعديد من الأعمال في علم اللاهوت ، لكنه اليوم معروف بعدة أطروحات رياضية ، من بينها نظرية بايز المذكورة أعلاه والتي تبرز كنتيجة رئيسية.
تناول بايز هذه النظرية في عمل بعنوان "مقال نحو حل مشكلة في عقيدة الفرص" ، نُشر عام 1763 ، وتم تطوير أعداد كبيرة عليه. دراسات مع تطبيقات في مجالات المعرفة المختلفة.
تفسير
أولاً ، من أجل فهم أفضل لهذه النظرية ، فإن بعض المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمال ضرورية ، خاصة نظرية الضرب للاحتمال الشرطي ، والتي تنص على أن
بالنسبة إلى E و A أحداث تعسفية لعينة فضاء S.
وتعريف الأقسام ، الذي يخبرنا أنه إذا كان لدينا A 1 ، A 2 ،… ، A n أحداث لعينة فضاء S ، فهذه ستشكل قسمًا من S ، إذا كان A i متنافيان بشكل متبادل واتحادهما هو S.
بالنظر إلى هذا ، دع B يكون حدثًا آخر. لذلك يمكننا أن نرى ب كـ
حيث A ط تتقاطع مع بعضها بعضا B هي الأحداث الحصرية.
ونتيجة لذلك ،
ثم يتم تطبيق نظرية الضرب
من ناحية أخرى ، يتم تحديد الاحتمال الشرطي لـ Ai المعطى B بواسطة
استبدال بشكل مناسب لدينا ذلك لأي i
تطبيقات نظرية بايز
بفضل هذه النتيجة ، تمكنت مجموعات البحث والشركات المختلفة من تحسين الأنظمة القائمة على المعرفة.
على سبيل المثال ، في دراسة الأمراض ، يمكن أن تساعد نظرية بايز في تمييز احتمالية وجود مرض ما في مجموعة من الأشخاص الذين لديهم خاصية معينة ، مع الأخذ في الاعتبار المعدلات العالمية للمرض وانتشار الخصائص المذكورة في البيانات. كل من الأشخاص الأصحاء والمرضى.
من ناحية أخرى ، في عالم التقنيات العالية ، فقد أثرت على الشركات الكبيرة التي طورت ، بفضل هذه النتيجة ، البرمجيات "القائمة على المعرفة".
كمثال يومي لدينا مساعد Microsoft Office. تساعد نظرية بايز البرنامج على تقييم المشكلات التي يعرضها المستخدم وتحديد النصيحة التي يجب تقديمها له ، وبالتالي يكون قادرًا على تقديم خدمة أفضل وفقًا لعادات المستخدم.
وتجدر الإشارة إلى أنه تم تجاهل هذه الصيغة حتى الآونة الأخيرة ، ويرجع ذلك أساسًا إلى أنه عندما تم تطوير هذه النتيجة قبل 200 عام ، لم يكن هناك استخدام عملي لها. ومع ذلك ، في عصرنا ، وبفضل التقدم التكنولوجي الكبير ، وجد العلماء طرقًا لوضع هذه النتيجة موضع التنفيذ.
تمارين محلولة
التمرين 1
تمتلك شركة الهاتف الخلوي جهازين A و B. 54٪ من الهواتف المحمولة المنتجة مصنوعة بواسطة الجهاز A والباقي بواسطة الجهاز B. ليست كل الهواتف المحمولة المنتجة في حالة جيدة.
نسبة الهواتف المحمولة المعيبة من قبل A هي 0.2 و B تساوي 0.5. ما هو احتمال أن يكون الهاتف الخلوي من هذا المصنع معيبًا؟ ما هو احتمال أن يأتي الهاتف الخلوي من الجهاز "أ" بمعرفة أن به عيب؟
المحلول
هنا ، لديك تجربة تتم في جزأين ؛ في الجزء الأول تقع الأحداث:
ج: خلية مصنوعة بواسطة آلة أ.
B: خلية مصنوعة بواسطة آلة B.
نظرًا لأن الجهاز A ينتج 54٪ من الهواتف المحمولة والباقي ينتج بواسطة الجهاز B ، فإن ذلك يعني أن الجهاز B ينتج 46٪ من الهواتف المحمولة. يتم إعطاء احتمالات هذه الأحداث ، وهي:
الفوسفور (أ) = 0.54.
الفوسفور (ب) = 0.46.
أحداث الجزء الثاني من التجربة هي:
D: هاتف خلوي معيب.
E: هاتف خلوي غير معيب.
كما هو مذكور في البيان ، تعتمد احتمالات هذه الأحداث على النتيجة التي تم الحصول عليها في الجزء الأول:
P (DA) = 0.2.
P (DB) = 0.5.
باستخدام هذه القيم ، يمكن أيضًا تحديد احتمالات مكملات هذه الأحداث ، أي:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0.2
= 0.8
و
ع (EB) = 1 - ف (ديسيبل)
= 1 - 0.5
= 0.5.
الآن يمكن كتابة الحدث D على النحو التالي:
باستخدام نظرية الضرب لنتائج الاحتمال الشرطي:
عندئذٍ يتم الإجابة على السؤال الأول.
الآن نحتاج فقط لحساب P (AD) ، والتي يتم تطبيق نظرية بايز عليها:
بفضل نظرية بايز ، يمكن القول أن احتمال أن يكون الهاتف الخلوي قد صنع بواسطة الجهاز أ ، مع العلم أن الهاتف معيب ، هو 0.319.
تمرين 2
ثلاثة صناديق تحتوي على كرات سوداء وبيضاء. تكوين كل منها على النحو التالي: U1 = {3B، 1N}، U2 = {2B، 2N}، U3 = {1B، 3N}.
يتم اختيار أحد الصناديق عشوائيًا ويتم رسم كرة عشوائيًا يتبين أنها بيضاء. ما هو الصندوق الذي تم اختياره على الأرجح؟
المحلول
باستخدام U1 و U2 و U3 ، سنقوم أيضًا بتمثيل المربع المختار.
تشكل هذه الأحداث قسمًا من S ويتم التحقق من أن P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 نظرًا لأن اختيار المربع عشوائي.
إذا كان B = {الكرة المسحوبة بيضاء} ، فسنحصل على P (B-U1) = 3/4 ، P (B-U2) = 2/4 ، P (B-U3) = 1/4.
ما نريد الحصول عليه هو احتمال أن تكون الكرة قد تم إخراجها من المربع مع العلم أن الكرة المذكورة بيضاء ، أي P (Ui -B) ، ومعرفة أي من القيم الثلاث كان الأعلى لمعرفة أي منها مربع كان على الأرجح استخراج الكرة الرئيسية.
تطبيق نظرية بايز على أول الصناديق:
وللأثنين الآخرين:
P (U2-B) = 2/6 و P (U3-B) = 1/6.
بعد ذلك ، يكون أول الصناديق هو الصندوق الذي يحتوي على أعلى احتمالية لاختياره لاستخراج الكرة الرئيسية.
المراجع
- كاي لاي تشونغ. نظرية الاحتمال الأولية مع العمليات العشوائية. Springer-Verlag نيويورك إنك
- كينيث. روزين الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- بول ل.ماير. الاحتمالية والتطبيقات الإحصائية. SA ALHAMBRA ، المكسيك.
- سيمور ليبشوتز دكتوراه. 2000 حل مشاكل الرياضيات المتقطعة. ماكجرو هيل.
- سيمور ليبشوتز دكتوراه. مشاكل النظرية والاحتمالية. ماكجرو هيل.