نظرية إقليدس: الإثبات والتطبيق والتمارين - رياضيات - 2026

و نظرية إقليدس تظهر خصائص المثلث إلى رسم الخط الذي يقسم عليه في مثلثين الجديدة التي تشبه، وفي المقابل، تشبه المثلث الأصلي؛ إذن ، هناك علاقة تناسب.

كان إقليدس واحدًا من أعظم علماء الرياضيات والهندسة في العصور القديمة الذين قدموا عدة براهين على نظريات مهمة. أحد أهمها هو الذي يحمل اسمه ، والذي كان له تطبيق واسع.

كان هذا هو الحال لأنه ، من خلال هذه النظرية ، يشرح بطريقة بسيطة العلاقات الهندسية الموجودة في المثلث الأيمن ، حيث ترتبط أرجل هذا بإسقاطاتها في الوتر.

الصيغ والشرح

تقترح نظرية إقليدس أنه في كل مثلث قائم الزاوية ، عندما يتم رسم خط - والذي يمثل الارتفاع الذي يتوافق مع رأس الزاوية القائمة بالنسبة إلى الوتر - يتم تكوين مثلثين قائم الزاوية من الأصل.

ستكون هذه المثلثات متشابهة مع بعضها البعض وستكون أيضًا مماثلة للمثلث الأصلي ، مما يعني أن أضلاعها المتشابهة تتناسب مع بعضها البعض:

زوايا المثلثات الثلاثة متطابقة. وهذا يعني أنه عندما يتم تدويرهما 180 درجة حول رأسهما ، تتزامن إحدى الزوايا مع الأخرى. هذا يعني أنهم سيكونون جميعا نفس الشيء.

بهذه الطريقة ، يمكن أيضًا التحقق من التشابه الموجود بين المثلثات الثلاثة من خلال تساوي زواياها. من تشابه المثلثات ، يحدد إقليدس نسب هذه النسب من نظريتين:

- نظرية الارتفاع.

- نظرية الساقين.

هذه النظرية لها تطبيق واسع. في العصور القديمة كانت تستخدم لحساب الارتفاعات أو المسافات ، مما يمثل تقدمًا كبيرًا في علم المثلثات.

يتم تطبيقه حاليًا في مختلف المجالات التي تعتمد على الرياضيات ، مثل الهندسة والفيزياء والكيمياء وعلم الفلك ، من بين العديد من المجالات الأخرى.

نظرية الارتفاع

في هذه النظرية ، ثبت أنه في أي مثلث قائم الزاوية ، الارتفاع المرسوم من الزاوية اليمنى فيما يتعلق بالوتر هو المتوسط ​​الهندسي النسبي (مربع الارتفاع) بين إسقاطات الأرجل التي يحددها على الوتر.

أي أن مربع الارتفاع سيكون مساويًا لضرب الأرجل المسقطة التي تشكل الوتر:

ح _ج ² = م _* ن

برهنة

بالنظر إلى المثلث ABC ، ​​الذي يقع مباشرة عند الرأس C ، فإن رسم الارتفاع يولد مثلثين متشابهين قائم الزاوية ، ADC و BCD ؛ لذلك ، فإن جوانبها المقابلة متناسبة:

بهذه الطريقة يكون الارتفاع h _c الذي يتوافق مع المقطع CD يتوافق مع وتر المثلث AB = c ، وبالتالي لدينا:

وهذا بدوره يتوافق مع:

حل للوتر (ح _ج) ، لضرب عضوي المساواة ، لدينا:

ح _{ج *} ح _{ج =} م _* ن

ح _ج ² = م _* ن

وبالتالي ، يتم إعطاء قيمة الوتر من خلال:

نظرية الساق

تثبت هذه النظرية أنه في كل مثلث قائم الزاوية ، سيكون قياس كل ساق هو المتوسط ​​الهندسي النسبي (مربع كل ساق) بين قياس الوتر (مكتمل) وإسقاط كل منها عليه:

ب ² = ج _* م

أ ² = ج _* ن

برهنة

بالنظر إلى المثلث ABC ، ​​الموجود مباشرة في الرأس C ، بحيث يكون الوتر هو c ، عند رسم الارتفاع (h) ، يتم تحديد إسقاطات الساقين a و b ، وهما المقطعان m و n على التوالي ، وهما الوتر.

وبالتالي ، لدينا أن الارتفاع المرسوم على المثلث الأيمن ABC يولد مثلثين متشابهين قائمين ، ADC و BCD ، بحيث تكون الأضلاع المتناظرة متناسبة ، مثل هذا:

DB = n ، وهو إسقاط الساق CB على الوتر.

AD = m ، وهو إسقاط الساق AC على الوتر.

بعد ذلك ، يتم تحديد الوتر c من خلال مجموع أرجل إسقاطاته:

ج = م + ن

نظرًا لتشابه المثلثات ADC و BCD ، لدينا:

ما ورد أعلاه هو نفسه:

حلًا للساق "أ" لمضاعفة عضوي المساواة ، لدينا:

أ _* أ = ج _* ن

أ ² = ج _* ن

وبالتالي ، يتم إعطاء قيمة الساق "أ" من خلال:

بنفس الطريقة ، بسبب تشابه المثلثات ACB و ADC ، لدينا:

ما سبق يساوي:

حل لساق "ب" لمضاعفة عضوي المساواة ، لدينا:

ب _* ب = ج _* م

ب ² = ج _* م

وبالتالي ، يتم إعطاء قيمة الساق "b" من خلال:

العلاقة بين نظريات إقليدس

ترتبط النظريات المتعلقة بالارتفاع والأرجل ببعضها البعض لأن قياس كلاهما يتم فيما يتعلق بوتر المثلث الأيمن.

من خلال العلاقة بين نظريات إقليدس ، يمكن أيضًا العثور على قيمة الارتفاع ؛ هذا ممكن عن طريق حل قيم m و n من نظرية الساق واستبدالها في نظرية الارتفاع. وبهذه الطريقة يتحقق أن الارتفاع يساوي ضرب الساقين مقسومًا على الوتر:

ب ² = ج _* م

م = ب ² ÷ ج

أ ² = ج _* ن

ن = أ ² ج

في نظرية الارتفاع نستبدل m و n:

ح _ج ² = م _* ن

ح _ج ² = (ب ² ÷ ج) _* (أ ² ج)

ح _ج = (ب ² _* أ ²) ÷ ج

تمارين محلولة

مثال 1

بمعلومية المثلث ABC ، ​​عند A ، أوجد قياس AC و AD ، إذا كان AB = 30 سم و BD = 18 سم

المحلول

في هذه الحالة ، لدينا قياسات أحد الأرجل المسقطة (BD) وأحد أرجل المثلث الأصلي (AB). بهذه الطريقة ، يمكن تطبيق نظرية الضلع لإيجاد قيمة الضلع BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* ق

900 = 18 _* ق

BC = 900 18

BC = 50 سم

يمكن إيجاد قيمة الضلع CD مع العلم أن BC = 50:

CD = BC - BD

القرص المضغوط = 50 - 18 = 32 سم

أصبح من الممكن الآن تحديد قيمة الضلع AC ، بتطبيق نظرية الساق مرة أخرى:

AC ² = CD _* BD

أس ² = 32 _* 50

أس ² = 160

أس = 160000 = 40 سم

لتحديد قيمة الارتفاع (AD) ، يتم تطبيق نظرية الارتفاع ، حيث تُعرف قيم الأرجل المسقطة CD و BD:

م ² = 32 _* 18

م ² = 576

AD = √576

م = 24 سم

مثال 2

حدد قيمة الارتفاع (h) للمثلث MNL ، تمامًا في N ، مع معرفة قياسات المقاطع:

NL = 10 سم

MN = 5 سم

م = 2 سم

المحلول

لدينا قياس إحدى الأرجل المسقطة على الوتر (PM) ، وكذلك قياسات أرجل المثلث الأصلي. بهذه الطريقة ، يمكن تطبيق نظرية الساق لإيجاد قيمة الساق المسقطة الأخرى (LN):

NL ² = مساءً _* LM

(10) ² = 5 _* م

100 = 5 _* م

رر = 100 5 = 20

نظرًا لأن قيمة الساقين والوتر معروفة بالفعل ، من خلال العلاقة بين نظريات الارتفاع والساقين ، يمكن تحديد قيمة الارتفاع:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

ح = (ب ² _* أ ²) ÷ ج.

ع = (10 ² _* 5 ²) ÷ (20)

ع = (100 _* 25) (20)

ع = 2500 20

ع = 125 سم.

المراجع

1. براون ، إي (2011). الفوضى والفركتلات والأشياء الغريبة. صندوق الثقافة الاقتصادية.
2. كابريرا ، في إم (1974). الرياضيات الحديثة ، المجلد 3.
3. دانيال هيرنانديز ، موانئ دبي (2014). السنة الثالثة الرياضيات. كاراكاس: سانتيانا.
4. موسوعة بريتانيكا ، ط. (تسعة وتسعون وخمسة وتسعون). الموسوعة الإسبانية: Macropedia. موسوعة بريتانيكا ناشرون.
5. إقليدس ، ر. ب. (1886). عناصر الهندسة لإقليدس.
6. Guardeño ، AJ (2000). إرث الرياضيات: من إقليدس إلى نيوتن ، العباقرة من خلال كتبهم. جامعة اشبيلية.