نظرية الوجود والتفرد: البرهان والأمثلة والتمارين - رياضيات - 2026

و جود والتفرد نظرية تنص الشروط الضرورية والكافية لمن الدرجة الأولى المعادلة التفاضلية، مع الشرط الأولي معينة، أن يكون لها حل وهذا الحل لتكون واحدة فقط.

ومع ذلك ، فإن النظرية لا تعطي أي تقنية أو إشارة إلى كيفية إيجاد مثل هذا الحل. تمتد نظرية الوجود والتفرد أيضًا إلى المعادلات التفاضلية ذات الترتيب الأعلى مع الشروط الأولية ، والتي تُعرف باسم مشكلة كوشي.

الشكل 1. معادلة تفاضلية مع الشرط الأولي وحلها معروض. تضمن نظرية الوجود والتفرد أنه الحل الوحيد الممكن.

البيان الرسمي لنظرية الوجود والتفرد هو كما يلي:

"بالنسبة للمعادلة التفاضلية y '(x) = f (x، y) بالشرط الأولي y (a) = b ، يوجد حل واحد على الأقل في منطقة مستطيلة من المستوى XY تحتوي على النقطة (أ ، ب) ، إذا f (x، y) متصلة في تلك المنطقة. وإذا كان المشتق الجزئي لـ f بالنسبة إلى y: g = ∂f / y مستمرًا في نفس المنطقة المستطيلة ، فإن الحل يكون فريدًا في المنطقة المجاورة للنقطة (أ ، ب) الموجودة في منطقة استمرارية fy ز. "

تكمن فائدة هذه النظرية أولاً في معرفة مناطق المستوى XY التي يمكن أن يوجد فيها حل وأيضًا معرفة ما إذا كان الحل الموجود هو الحل الوحيد الممكن أو ما إذا كان هناك حل آخر.

لاحظ أنه في حالة عدم استيفاء شرط التفرد ، لا يمكن للنظرية التنبؤ بعدد الحلول في إجمالي مشكلة كوشي: ربما يكون واحدًا أو اثنين أو أكثر.

إثبات وجود نظرية التفرد

الشكل 2. تشارلز إميل بيكار (1856-1941) يُنسب إليه الفضل في أحد البراهين الأولى على نظرية الوجود والتفرد. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

لهذه النظرية ، هناك دليلان محتملان معروفان ، أحدهما إثبات تشارلز إميل بيكار (1856-1941) والآخر يرجع إلى جوزيبي بينو (1858-1932) استنادًا إلى أعمال أوغستين لويس كوشي (1789-1857).

من الجدير بالذكر أن أذكى العقول الرياضية في القرن التاسع عشر شاركت في إثبات هذه النظرية ، لذلك يمكن أن نفهم أن أياً منهما ليس بسيطاً.

لإثبات النظرية رسميًا ، من الضروري أولاً إنشاء سلسلة من المفاهيم الرياضية الأكثر تقدمًا ، مثل وظائف من نوع Lipschitz ، ومسافات Banach ، ونظرية وجود Carathéodory ، والعديد من المفاهيم الأخرى التي تتجاوز نطاق المقالة.

يتعامل جزء كبير من المعادلات التفاضلية التي يتم تناولها في الفيزياء مع الوظائف المستمرة في مناطق الاهتمام ، لذلك سنقتصر على إظهار كيفية تطبيق النظرية في المعادلات البسيطة.

أمثلة

- مثال 1

لنفكر في المعادلة التفاضلية التالية بشرط أولي:

ص '(س) = - ص ؛ مع ص (1) = 3

هل هناك حل لهذه المشكلة؟ هل هو الحل الوحيد الممكن؟

الإجابات

في المقام الأول ، يتم تقييم وجود حل المعادلة التفاضلية وأنه يفي أيضًا بالشرط الأولي.

في هذا المثال f (x، y) = - ويتطلب شرط الوجود معرفة ما إذا كانت f (x، y) متصلة في منطقة من المستوى XY تحتوي على نقطة الإحداثيات x = 1 ، y = 3.

لكن f (x ، y) = - y هي الدالة الأفقية ، وهي دالة متصلة في مجال الأعداد الحقيقية وتوجد في جميع أنحاء نطاق الأعداد الحقيقية.

لذلك استنتج أن f (x، y) مستمرة في R ² ، لذلك تضمن النظرية وجود حل واحد على الأقل.

بمعرفة ذلك ، من الضروري تقييم ما إذا كان الحل فريدًا أم أنه على العكس من ذلك ، هناك أكثر من حل. لهذا ، من الضروري حساب المشتق الجزئي لـ f فيما يتعلق بالمتغير y:

ثم g (x ، y) = -1 وهي دالة ثابتة ، يتم تعريفها أيضًا لجميع R ² وهي أيضًا متصلة هناك. ويترتب على ذلك أن نظرية الوجود والتفرد تضمن أن مشكلة القيمة الأولية هذه لها حل فريد ، على الرغم من أنها لا تخبرنا بما هو.

- المثال 2

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية العادية التالية من الدرجة الأولى بشرط أولي:

ص '(س) = 2 ص ؛ و (0) = 0.

هل يوجد حل y (x) لهذه المشكلة؟ إذا كان الأمر كذلك ، فحدد ما إذا كان هناك واحد أو أكثر.

الرد

نعتبر الدالة f (x، y) = 2√y. يتم تعريف الدالة f فقط من أجل y≥0 ، لأننا نعلم أن العدد السالب يفتقر إلى الجذر الحقيقي. علاوة على ذلك ، فإن f (x ، y) مستمرة في النصف العلوي من مستوى R ² بما في ذلك المحور X ، وبالتالي فإن نظرية الوجود والتفرد تضمن حلًا واحدًا على الأقل في المنطقة المذكورة.

الآن الشرط الأولي x = 0 ، y = 0 على حافة منطقة الحل. ثم نأخذ المشتق الجزئي لـ f (x، y) بالنسبة إلى y:

∂f / ∂y = 1 / y

في هذه الحالة ، لم يتم تحديد الوظيفة لـ y = 0 ، حيث يكون الشرط الأولي بالضبط.

ماذا تخبرنا النظرية؟ يخبرنا أنه على الرغم من أننا نعلم أن هناك حلًا واحدًا على الأقل في المستوى النصف العلوي للمحور X بما في ذلك المحور X ، نظرًا لعدم استيفاء شرط التفرد ، فلا يوجد ضمان بوجود حل فريد.

هذا يعني أنه يمكن أن يكون هناك حل واحد أو أكثر في منطقة استمرارية f (x ، y). وكالعادة ، لا تخبرنا النظرية بما يمكن أن يكونوا عليه.

تمارين محلولة

- التمرين 1

حل مشكلة كوشي في المثال 1:

ص '(س) = - ص ؛ مع ص (1) = 3.

أوجد الدالة y (x) التي تحقق المعادلة التفاضلية والشرط الأولي.

المحلول

في المثال 1 ، تم تحديد أن هذه المشكلة لها حل وأنها فريدة أيضًا. لإيجاد الحل ، أول ما يجب ملاحظته هو أنها معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى للمتغيرات القابلة للفصل ، والتي تتم كتابتها على النحو التالي:

قسمة بين وفي كلا العضوين لفصل المتغيرات التي لدينا:

يتم تطبيق التكامل غير المحدد في كلا العضوين:

حل التكاملات غير المحددة التي لدينا:

حيث C هو ثابت تكامل يحدده الشرط الأولي:

يبقى استبدال قيمة C وإعادة ترتيبها:

تطبيق خاصية اللوغاريتمات التالية:

يمكن إعادة كتابة التعبير أعلاه على النحو التالي:

يتم تطبيق الوظيفة الأسية مع الأساس e في كلا العضوين للحصول على:

ص / 3 = هـ ^{(1 - س)}

وهو ما يعادل:

ص = 3 هـ هـ- ^س

هذا هو الحل الفريد للمعادلة y '= -y مع y (1) = 3. يظهر الرسم البياني لهذا الحل في الشكل 1.

- تمرين 2

أوجد حلين للمشكلة المطروحة في المثال 2:

ص '(س) = 2√ (ص) ؛ و (0) = 0.

المحلول

إنها أيضًا معادلة للمتغيرات القابلة للفصل ، والتي ، مكتوبة في شكل تفاضلي ، تبدو كما يلي:

dy / √ (y) = 2 dx

يبقى أخذ التكامل غير المحدد في كلا العضوين:

2 √ (ص) = 2 س + ج

بما أننا نعلم أن y≥0 في منطقة الحل لدينا:

ص = (س + ج) ²

ولكن بما أن الشرط الأولي x = 0 ، يجب أن تتحقق y = 0 ، فإن الثابت C هو صفر ويبقى الحل التالي:

ص (س) = س ².

لكن هذا الحل ليس فريدًا ، فالدالة y (x) = 0 هي أيضًا حل للمشكلة المطروحة. إن نظرية الوجود والتفرد المطبقة على هذه المشكلة في المثال 2 قد تنبأت بالفعل بإمكانية وجود أكثر من حل واحد.

المراجع

1. كودينجتون ، إيرل أ. ليفنسون ، نورمان (1955) ، نظرية المعادلات التفاضلية العادية ، نيويورك: ماكجرو هيل.
2. موسوعة الرياضيات. نظرية كوشي ليبشيتز. تم الاسترجاع من: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf، Sur l'application de la méthode des التقريبية المتتالية aux équations différentielles ordinaires du premier ordre؛ Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. المجلد. 116 ، 1894 ، ص. 454-457. تم الاسترجاع من: gallica.bnf.fr.
4. ويكيبيديا. طريقة التقريب المتتالية لبيكارد. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
5. ويكيبيديا. نظرية بيكار لينديلوف. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com.
6. زيل ، د. 1986. معادلات تفاضلية أولية مع تطبيقات برنتيس هول.