و الأخضر الصورة نظرية هي طريقة الحساب المستخدمة لالتكاملات خط ربط التكاملات الثنائية أو مساحة السطح. يجب الإشارة إلى الوظائف المعنية على أنها حقول متجهة وتعريفها داخل المسار C.
على سبيل المثال ، يمكن أن يكون من الصعب جدًا حل تعبير خط متكامل ؛ ومع ذلك ، من خلال تطبيق نظرية جرين ، تصبح التكاملات المزدوجة أساسية للغاية. من المهم دائمًا احترام الاتجاه الإيجابي للمسار ، وهذا يشير إلى الاتجاه المعاكس لاتجاه عقارب الساعة.
نظرية جرين هي حالة خاصة من نظرية ستوكس ، حيث يتم تنفيذ إسقاط دالة المتجه في المستوى xy.
تعريف
التعبير عن نظرية جرين كالتالي:
يوضح المصطلح الأول الخط المتكامل المحدد بواسطة المسار "C" ، للمنتج القياسي بين دالة المتجه "F" ودالة المتجه "r".
ج: هو المسار المحدد الذي سيتم عرض وظيفة المتجه عليه طالما تم تحديده لذلك المستوى.
F: دالة Vector ، حيث يتم تعريف كل مكون من مكوناتها بواسطة دالة على هذا النحو (f ، g).
r: هو متجه مماس للمنطقة R التي يتم تعريف التكامل عليها. في هذه الحالة ، نعمل باستخدام تفاضل لهذا المتجه.
في المصطلح الثاني ، نرى تطوير نظرية جرين ، حيث يتم ملاحظة التكامل المزدوج المحدد في المنطقة R لاختلاف المشتقات الجزئية لـ g و f ، فيما يتعلق بـ x و y على التوالي. بواسطة تفاضل منطقة ليس أكثر من حاصل ضرب كل من الفروق ثنائية الأبعاد (dx.dy).
هذه النظرية قابلة للتطبيق تمامًا على تكاملات الفضاء والسطح.
برهنة
لإثبات نظرية جرين بطريقة بسيطة ، سيتم تقسيم هذه المهمة إلى جزأين. بادئ ذي بدء ، سنفترض أن الدالة المتجهة F لها تعريف فقط في المقابل i. بينما الدالة "g" المقابلة للعكس j ستساوي صفرًا.
مؤلف
F = f (x، y) i + g (x، y) j = f (x، y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
أولاً نطور الخط المتكامل على المسار C ، والذي تم تقسيم المسار له إلى قسمين ينتقلان أولاً من a إلى b ثم من b إلى a.
يتم تطبيق تعريف النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل على تكامل محدد.
يعاد ترتيب التعبير في تكامل واحد ، والسالب يصبح عاملاً مشتركًا ، ويتم عكس ترتيب العوامل.
عند ملاحظة هذا التعبير بالتفصيل ، يصبح من الواضح أنه عند تطبيق معايير الوظيفة البدائية ، فإننا في وجود تكامل التعبير المشتق من f فيما يتعلق بـ y. تقييم في المعلمات
الآن يكفي أن نفترض أن دالة المتجه F معرّفة فقط لـ g (x، y) j. عند العمل بطريقة مماثلة للحالة السابقة ، يتم الحصول على ما يلي:
للإنهاء ، يتم أخذ الإثباتين وضمهما في الحالة التي تأخذ فيها وظيفة المتجه قيمًا لكل من الآيات. وبهذه الطريقة ، يتضح كيف يمكن تطوير خط متكامل بعد تعريفه واعتباره مسارًا أحادي البعد ، بشكل كامل للمستوى والفضاء.
F = f (x، y) i + g (x، y) j
بهذه الطريقة ، تم إثبات نظرية جرين.
التطبيقات
تطبيقات نظرية جرين واسعة في فروع الفيزياء والرياضيات. تمتد هذه إلى أي تطبيق أو استخدام يمكن إعطاؤه لتكامل الخط.
يمكن تطوير العمل الميكانيكي الذي تقوم به القوة F خلال المسار C بواسطة خط متكامل يتم التعبير عنه على أنه تكامل مزدوج لمنطقة ما بواسطة نظرية جرين.
تستجيب لحظات القصور الذاتي للعديد من الهيئات المعرضة لقوى خارجية في نقاط مختلفة من التطبيق أيضًا لتكاملات الخط التي يمكن تطويرها باستخدام نظرية جرين.
هذا له وظائف متعددة في دراسات مقاومة المواد قيد الاستخدام. حيث يمكن تحديد القيم الخارجية كمياً وأخذها في الاعتبار قبل تطوير العناصر المختلفة.
بشكل عام ، تسهل نظرية جرين فهم وتعريف المناطق التي يتم فيها تعريف وظائف المتجهات فيما يتعلق بمنطقة على طول المسار.
التاريخ
نُشر عام 1828 في عمل التحليل الرياضي لنظريات الكهرباء والمغناطيسية ، الذي كتبه عالم الرياضيات البريطاني جورج جرين. في ذلك ، يتم استكشاف أقسام حاسمة تمامًا في تطبيق حساب التفاضل والتكامل في الفيزياء ، مثل مفهوم الوظائف المحتملة ووظائف جرين وتطبيقات نظريته التي تحمل عنوانًا ذاتيًا.
قام جورج جرين بإضفاء الطابع الرسمي على مسيرته الطلابية في سن الأربعين ، حيث كان حتى الآن عالم رياضيات تمامًا. بعد الدراسة في جامعة كامبريدج ، واصل بحثه ، وقدم مساهمات في علم الصوت والبصريات والديناميكا المائية التي لا تزال سارية حتى اليوم.
العلاقة مع النظريات الأخرى
تعتبر نظرية جرين حالة خاصة ، وهي تنشأ من نظريتين أخريين مهمين جدًا في مجال التفاضل والتكامل. هذه هي نظرية كلفن ستوكس والتباعد أو نظرية غاوس أوستروجرادسكي.
بدءًا من أي من النظريتين ، يمكن للمرء أن يصل إلى نظرية جرين. بعض التعاريف والاقتراحات ضرورية لتطوير مثل هذه البراهين.
تمارين
- يوضح التمرين التالي كيفية تحويل خط متكامل إلى تكامل مزدوج فيما يتعلق بمنطقة R.
التعبير الأصلي كما يلي:
من حيث يتم أخذ الوظائف المقابلة af و g
و (س ، ص) = س 3 ج (س ، ص) = ص
df / dy = 0 dg / dx = y
لا توجد طريقة واحدة لتحديد حدود التكامل عند تطبيق نظرية جرين. ولكن هناك طرق يمكن أن تكون فيها التكاملات بعد تعريفها أبسط. لذا فإن تحسين حدود التكامل يستحق الاهتمام.
أين نحصل عند حل التكاملات:
تتوافق هذه القيمة بوحدات تكعيبية مع المنطقة الواقعة أسفل دالة المتجه وعلى المنطقة المثلثية المحددة بواسطة C.
في حالة تكامل الخط دون تنفيذ طريقة Green ، كان من الضروري تحديد معلمات الوظائف في كل قسم من أقسام المنطقة. وهذا يعني ، تنفيذ 3 تكاملات معلمات للقرار. هذا دليل كاف على الكفاءة التي جلبها روبرت جرين مع نظريته إلى التفاضل والتكامل.
المراجع
- مقدمة في ميكانيكا Continuum. دبليو مايكل لاي ، ديفيد هـ.روبين ، إرهارد كريمبل ، ديفيد روبين بتروورث-هاينمان ، 23 يوليو. 2009
- حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. جيمس ستيوارت. تعلم Cengage ، مارس 22 2011
- تاريخ غير رسمي لنظرية جرين والأفكار المرتبطة بها. جيمس جوزيف كروس. قسم الرياضيات ، جامعة ملبورن ، 1975
- التوصيل الحراري باستخدام وظائف الخضر. كيفن دي كول ، جيمس في بيك ، أ. حاج الشيخ ، بهمن لتكوحي. تايلور وفرانسيس ، 16 يوليو 2010
- تطبيق نظرية جرين لتطويل التكاملات الخطية. مركز المعلومات الفنية للدفاع ، 1961