نظرية MOIVRE: تمارين الإثبات والحل - رياضيات - 2026

و نظرية من moivre قد تطبق الجبر العمليات الأساسية، مثل القوى والجذور استخراج في الأعداد المركبة. تم ذكر النظرية من قبل عالم الرياضيات الفرنسي الشهير أبراهام دي Moivre (1730) ، الذي ربط الأعداد المركبة بعلم المثلثات.

قام أبراهام موفر بهذا الارتباط من خلال تعابير الجيب وجيب التمام. أنتج عالم الرياضيات هذا نوعًا من المعادلة التي يمكن من خلالها رفع رقم مركب z إلى القوة n ، وهو عدد صحيح موجب أكبر من أو يساوي 1.

ما هي نظرية Moivre؟

تنص نظرية Moivre على ما يلي:

إذا كان لدينا عدد مركب في الصورة القطبية z = r _Ɵ ، حيث r هي الوحدة النمطية للعدد المركب z ، وتسمى الزاوية Ɵ سعة أو سعة أي عدد مركب مع 0 ≤ Ɵ ≤ 2π ، لحساب n– عشر القوة لن يكون من الضروري مضاعفتها بنفسها n مرات ؛ أي ليس من الضروري عمل المنتج التالي:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*… *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *… *} ص _Ɵ ن مرات.

على العكس من ذلك ، تقول النظرية أنه عند كتابة z في صورتها المثلثية ، لحساب القوة n ، فإننا نتابع على النحو التالي:

إذا كان z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) فإن z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

على سبيل المثال ، إذا كان n = 2 ، فعندئذٍ z ² = r ². إذا كان n = 3 ، فإن z ³ = z ² _* z. أيضا:

ض ³ = ص ² _* ص = ص ³.

بهذه الطريقة ، يمكن الحصول على النسب المثلثية للجيب وجيب التمام لمضاعفات الزاوية ، طالما أن النسب المثلثية للزاوية معروفة.

بنفس الطريقة يمكن استخدامه لإيجاد تعبيرات أكثر دقة وأقل إرباكًا للجذر n -th لعدد مركب z ، بحيث z ⁿ = 1.

لإثبات نظرية Moivre ، يتم استخدام مبدأ الاستقراء الرياضي: إذا كان للعدد الصحيح "a" خاصية "P" ، وإذا كان لأي عدد صحيح "n" أكبر من "a" له الخاصية "P" يرضي أن n + 1 لها أيضًا الخاصية "P" ، ثم جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من أو تساوي "a" لها الخاصية "P".

برهنة

وبالتالي ، يتم إثبات النظرية بالخطوات التالية:

قاعدة حثي

يتم فحصه لأول مرة من أجل n = 1.

بما أن z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ ، فإن النظرية تنطبق على n = 1.

الفرضية الاستقرائية

يُفترض أن تكون الصيغة صحيحة لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة ، أي n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

التحقق

ثبت أنه صحيح بالنسبة لـ n = k + 1.

بما أن z ^{k + 1} = z ^k _* z ، فإن z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + أنا _* senƟ).

ثم تتضاعف التعبيرات:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

للحظة يتم تجاهل العامل r ^{k + 1} ، ويتم أخذ العامل المشترك i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

نظرًا لأن i ² = -1 ، فإننا نستبدلها في التعبير ونحصل على:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

الآن يتم ترتيب الجزء الحقيقي والجزء التخيلي:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + أنا.

لتبسيط التعبير ، يتم تطبيق الهويات المثلثية لمجموع الزوايا لجيب التمام والجيب ، وهي:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

الخطيئة (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

في هذه الحالة ، المتغيران هما الزاويتان Ɵ و kƟ. بتطبيق الهويات المثلثية ، لدينا:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ +)

الخطيئة kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = الخطيئة (k + Ɵ)

بهذه الطريقة يكون التعبير:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ +))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

وبالتالي يمكن إثبات أن النتيجة صحيحة لـ n = k + 1. من خلال مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن النتيجة صحيحة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة ؛ هذا هو ، ن ≥ 1.

عدد صحيح سالب

يتم تطبيق نظرية Moivre أيضًا عندما n ≤ 0. دعونا نفكر في عدد صحيح سالب «n» ؛ ثم يمكن كتابة "n" كـ "-m" ، أي n = -m ، حيث "m" عدد صحيح موجب. هكذا:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

للحصول على الأس «م» بطريقة موجبة ، يتم كتابة التعبير بشكل عكسي:

(كوس Ɵ + أنا _* الخطيئة Ɵ) ^ن = 1 (كوس Ɵ + أنا _* الخطيئة Ɵ) ^م

(كوس Ɵ + أنا _* الخطيئة Ɵ) ^ن = 1 ÷ (كوس مƟ + أنا _* الخطيئة مƟ)

الآن ، يتم استخدام أنه إذا كان z = a + b * i عددًا مركبًا ، فإن 1 ÷ z = ab * i. هكذا:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

باستخدام هذا cos (x) = cos (-x) وأن -sen (x) = sin (-x) ، لدينا:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^ن =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

وبالتالي ، يمكن القول أن النظرية تنطبق على جميع القيم الصحيحة لـ "n".

تمارين محلولة

حساب القوى الموجبة

إحدى العمليات ذات الأعداد المركبة في صورتها القطبية هي الضرب في اثنين منها ؛ في هذه الحالة ، يتم ضرب الوحدات وإضافة الوسائط.

إذا كان لديك رقمان مركبان z _{1 و} z ₂ وتريد حساب (z ₁ * z ₂) ² ، فتابع ما يلي:

ض ₁ ض ₂ = *

تنطبق خاصية التوزيع:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin ₂).

يتم تجميعها ، مع أخذ المصطلح "i" كعامل مشترك للتعبيرات:

ض ₁ ض ₂ = ص ₁ ص ₂

نظرًا لأن i ² = -1 ، يتم استبدالها في التعبير:

ض ₁ ض ₂ = ص ₁ ص ₂

يتم إعادة تجميع المصطلحات الحقيقية مع المصطلحات الحقيقية ، والخيالية مع المتخيلة:

ض ₁ ض ₂ = ص ₁ ص ₂

أخيرًا ، تنطبق الخصائص المثلثية:

ض ₁ ض ₂ = ص ₁ ص ₂.

فى الختام:

(z ₁ * z ₂) ² = (r ₁ r ₂) ²

= r ₁ ² r ₂ ².

التمرين 1

اكتب العدد المركب في الصورة القطبية إذا كانت z = - 2 -2i. ثم ، باستخدام نظرية Moivre ، احسب z ⁴.

المحلول

يتم التعبير عن العدد المركب z = -2 -2i في الشكل المستطيل z = a + bi ، حيث:

أ = -2.

ب = -2.

مع العلم أن الصورة القطبية هي z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ، نحتاج إلى تحديد قيمة المقياس "r" وقيمة الوسيطة "Ɵ". بما أن r = √ (a² + b²) ، يتم استبدال القيم المعطاة:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

بعد ذلك ، لتحديد قيمة «،» ، يتم تطبيق الشكل المستطيل الذي تعطى بواسطة الصيغة:

تان Ɵ = ب ÷ أ

تان Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

بما أن tan (Ɵ) = 1 ولدينا <0 ، إذن لدينا:

Ɵ = أركتان (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

نظرًا لأن قيمة «r» و «Ɵ» قد تم الحصول عليها بالفعل ، يمكن التعبير عن الرقم المركب z = -2 -2i في شكل قطبي عن طريق استبدال القيم:

ض = 2√2 (كوس (5Π / 4) + أنا _* خطيئة (5Π / 4)).

نستخدم الآن نظرية Moivre لحساب z ⁴:

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (كوس (5Π) + أنا _* الخطيئة (5Π)).

تمرين 2

أوجد حاصل ضرب الأعداد المركبة بالتعبير عنها في الصورة القطبية:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o)

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o).

ثم احسب (z1 * z2) ².

المحلول

أولاً يتم تشكيل منتج الأرقام المعطاة:

ض ₁ ض ₂ = *

ثم تتضاعف الوحدات مع بعضها ، وتُضاف الوسيطات:

ض ₁ ض ₂ = (4 _* 7) _*

التعبير مبسط:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o).

أخيرًا ، تنطبق نظرية Moivre:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o)) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o)).

حساب القوى السالبة

لقسمة عددين مركبين z _{1 و} z ₂ في صورتهما القطبية ، يُقسم المقياس ويُطرح الوسيطان. وبالتالي ، فإن حاصل القسمة هو z ₁ ÷ z ₂ ويتم التعبير عنه على النحو التالي:

ض ₁ ÷ ض ₂ = r1 / r2 ().

كما في الحالة السابقة ، إذا أردنا حساب (z1 ÷ z2) ³ ، يتم إجراء القسمة أولاً ثم يتم استخدام نظرية Moivre.

التمرين 3

النردات:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)) ،

z2 = 4 (cos (/ 4) + i * sin (/ 4)) ،

احسب (z1 ÷ z2) ³.

المحلول

باتباع الخطوات الموضحة أعلاه يمكن استنتاج ما يلي:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (/ 2))) ³

= 27 (كوس (3π / 2) + أنا * الخطيئة (3π / 2)).

المراجع

1. آرثر جودمان ، إل إتش (1996). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. تعليم بيرسون.
2. كروشر ، م. (بدون تاريخ). من نظرية Moivre للهويات المثلثية. مشروع مظاهرات Wolfram.
3. Hazewinkel ، M. (2001). موسوعة الرياضيات.
4. ماكس بيترز ، دبليو إل (1972). الجبر وعلم المثلثات.
5. بيريز ، سي دي (2010). تعليم بيرسون.
6. ستانلي ، ج. (الثانية). الجبر الخطي. جراو هيل.
7. ، م (1997). حساب مسبق. تعليم بيرسون.