تستند النظريتان الأولى والثانية لتاليس ميليتس على تحديد المثلثات من المثلثات المتشابهة (النظرية الأولى) أو من الدوائر (النظرية الثانية). لقد كانت مفيدة للغاية في مختلف المجالات. على سبيل المثال ، كانت النظرية الأولى مفيدة جدًا لقياس الهياكل الكبيرة عندما لا توجد أدوات قياس متطورة.
كان طاليس من ميليتس عالم رياضيات يونانيًا قدم مساهمات كبيرة في الهندسة ، والتي تبرز هاتان النظريتان (في بعض النصوص كتب أيضًا باسم طاليس) وتطبيقاتهما المفيدة. تم استخدام هذه النتائج عبر التاريخ ومكنت من حل مجموعة متنوعة من المشكلات الهندسية.
طاليس ميليتس
نظرية طاليس الأولى
نظرية طاليس الأولى هي أداة مفيدة للغاية تسمح ، من بين أمور أخرى ، ببناء مثلث مشابه لمثلث آخر معروف سابقًا. من هنا يتم اشتقاق إصدارات مختلفة من النظرية يمكن تطبيقها في سياقات متعددة.
قبل الإدلاء ببيانك ، دعونا نتذكر بعض مفاهيم تشابه المثلثات. بشكل أساسي ، يتشابه مثلثا إذا كانت زواياهما متطابقة (لهما نفس القياس). ينتج عن هذا حقيقة أنه إذا كان المثلثان متشابهين ، فإن الأضلاع المقابلة (أو المتجانسة) تكون متناسبة.
تنص نظرية طاليس الأولى على أنه إذا تم رسم خط موازٍ لأي من أضلاعه في مثلث معين ، فإن المثلث الجديد الذي تم الحصول عليه سيكون مماثلاً للمثلث الأولي.
يتم أيضًا الحصول على علاقة بين الزوايا التي يتم تكوينها ، كما هو موضح في الشكل التالي.
تطبيق
من بين تطبيقاته العديدة ، يبرز أحد أهميته ويتعلق بإحدى الطرق التي تم بها إجراء القياسات للهياكل الكبيرة في العصور القديمة ، وهو الوقت الذي عاش فيه تاليس ولم تكن فيه أجهزة قياس حديثة هم موجودون الآن.
يقال أن هذه هي الطريقة التي تمكن بها طاليس من قياس أعلى هرم في مصر ، خوفو. لهذا ، افترض طاليس أن انعكاسات الأشعة الشمسية تلامس الأرض وتشكل خطوطًا متوازية. وفقًا لهذا الافتراض ، قام بتثبيت عصا أو قصب السكر عموديًا في الأرض.
ثم استخدم تشابه المثلثين الناتج ، أحدهما يتكون من طول ظل الهرم (الذي يمكن حسابه بسهولة) وارتفاع الهرم (المجهول) ، والآخر يتكون من أطوال الظل وارتفاع القضيب (والذي يمكن حسابه بسهولة أيضًا).
باستخدام التناسب بين هذه الأطوال ، يمكن حل ارتفاع الهرم ومعرفة.
على الرغم من أن طريقة القياس هذه يمكن أن تعطي خطأ تقريبيًا كبيرًا فيما يتعلق بدقة الارتفاع وتعتمد على التوازي بين الأشعة الشمسية (والتي تعتمد بدورها على وقت محدد) ، يجب الاعتراف بأنها فكرة بارعة للغاية وأنه قدم بديلاً جيدًا للقياس في ذلك الوقت.
أمثلة
أوجد قيمة x في كل حالة:
نظرية طاليس الثانية
تحدد نظرية طاليس الثانية مثلثًا قائم الزاوية مرسومًا في دائرة عند كل نقطة من نفس المثلث.
المثلث المدرج على محيط هو مثلث تقع رءوسه على محيطه ، وبالتالي يظل محتجزًا فيه.
على وجه التحديد ، تنص نظرية تاليس الثانية على ما يلي: بالنظر إلى محيط المركز O والقطر AC ، تحدد كل نقطة B من المحيط (بخلاف A و C) مثلثًا قائمًا ABC ، بزاوية قائمة
على سبيل التبرير ، دعونا نلاحظ أن كلا من OA و OB و OC يتوافقان مع نصف قطر الدائرة ؛ لذلك ، قياساتهم هي نفسها. ويترتب على ذلك أن مثلثات OAB و OCB متساوية الساقين ، حيث
من المعروف أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180º. باستخدام هذا مع المثلث ABC لدينا:
2 ب + 2 أ = 180 درجة.
بالتساوي ، لدينا ب + أ = 90º و ب + أ =
لاحظ أن المثلث القائم الزاوية الذي توفره نظرية طاليس الثانية هو بالضبط المثلث الذي يكون الوتر فيه مساويًا لقطر المحيط. لذلك ، يتم تحديده تمامًا بواسطة نصف الدائرة الذي يحتوي على نقاط المثلث ؛ في هذه الحالة ، القوس العلوي.
دعونا نلاحظ أيضًا أنه في المثلث الأيمن الذي تم الحصول عليه عن طريق نظرية طاليس الثانية ، يتم تقسيم الوتر إلى جزأين متساويين بواسطة OA و OC (نصف القطر). في المقابل ، هذا المقياس يساوي المقطع OB (أيضًا نصف القطر) ، والذي يتوافق مع وسيط المثلث ABC بواسطة B.
بعبارة أخرى ، يتم تحديد طول وسيط المثلث القائم الزاوية ABC المقابل للرأس B تمامًا بنصف الوتر. تذكر أن وسيط المثلث هو قطعة من أحد الرؤوس إلى نقطة منتصف الضلع المقابل ؛ في هذه الحالة ، الجزء BO.
محيط مقيد
هناك طريقة أخرى للنظر إلى نظرية طاليس الثانية وهي من خلال محيط مقيد بمثلث قائم الزاوية.
بشكل عام ، المحيط المقيد بمضلع يتكون من المحيط الذي يمر عبر كل رأس من رؤوسه ، كلما أمكن رسمه.
باستخدام نظرية تاليس الثانية ، بالنظر إلى مثلث قائم الزاوية ، يمكننا دائمًا إنشاء محيط محصور به ، بنصف قطر يساوي نصف الوتر ومحيط (مركز المحيط) يساوي نقطة منتصف الوتر.
تطبيق
أحد التطبيقات المهمة جدًا لنظرية طاليس الثانية ، وربما الأكثر استخدامًا ، هو العثور على الخطوط المماس لدائرة معينة ، من خلال نقطة P خارجها (معروفة).
لاحظ أنه بالنظر إلى دائرة (مرسومة باللون الأزرق في الشكل أدناه) ونقطة خارجية P ، هناك خطان مماس للدائرة التي تمر عبر P. لنفترض أن T و T 'هما نقطتا التماس ، و r نصف قطر الدائرة ، و أو المركز.
من المعروف أن القطعة التي تنتقل من مركز الدائرة إلى نقطة تماسها متعامدة مع خط المماس هذا. لذا فإن الزاوية OTP صحيحة.
مما رأيناه سابقًا في نظرية طاليس الأولى وإصداراتها المختلفة ، نرى أنه من الممكن إدراج مثلث OTP في دائرة أخرى (باللون الأحمر).
وبالمثل ، يتم الحصول على أن المثلث OT'P يمكن إدراجه داخل نفس المحيط السابق.
من خلال نظرية تاليس الثانية ، نحصل أيضًا على أن قطر هذا المحيط الجديد هو بالضبط وتر المثلث OTP (الذي يساوي وتر المثلث OT'P) ، والمركز هو نقطة منتصف هذا الوتر.
لحساب مركز المحيط الجديد ، يكفي حساب نقطة المنتصف بين المركز - لنقل M - للمحيط الأولي (الذي نعرفه بالفعل) والنقطة P (التي نعرفها أيضًا). ثم سيكون نصف القطر هو المسافة بين هذه النقطة M و P.
مع نصف القطر ومركز الدائرة الحمراء ، يمكننا إيجاد معادلتها الديكارتية ، والتي نتذكر أنها مُعطاة بـ (xh) 2 + (yk) 2 = c 2 ، حيث c هو نصف القطر والنقطة (h، k) هي مركز المحيط.
بمعرفة معادلات كلتا الدائرتين الآن ، يمكننا تقاطعهما عن طريق حل نظام المعادلات المكونة منهما ، وبالتالي الحصول على نقطتي التماس T و T '. أخيرًا ، لمعرفة خطوط الظل المرغوبة ، يكفي إيجاد معادلة الخطوط التي تمر عبر T و P ، وعبر T 'و P.
مثال
ضع في اعتبارك محيط القطر AC والمركز O ونصف القطر 1 سم. لنفترض أن B نقطة على المحيط بحيث AB = AC. ما هو ارتفاع AB؟
المحلول
وفقًا لنظرية طاليس الثانية ، لدينا أن المثلث ABC صحيح وأن الوتر يتوافق مع القطر ، والذي يبلغ في هذه الحالة 2 سم (نصف القطر 1 سم). ثم ، من خلال نظرية فيثاغورس لدينا:
المراجع
- آنا ليرا ، PJ (2006). الهندسة وعلم المثلثات. زابوبان ، خاليسكو: Ediciones Umbral.
- Goodman، A.، & Hirsch، L. (1996). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. تعليم بيرسون.
- جوتيريز ، Á. إلى. (2004). منهجية وتطبيقات الرياضيات في ESO وزارة التربية والتعليم.
- IGER. (2014). الرياضيات الفصل الثاني زاكوليو. غواتيمالا: IGER.
- خوسيه خيمينيز ، إل جيه (2006). الرياضيات 2. زابوبان ، خاليسكو: Ediciones Umbral.
- م ، س (1997). علم المثلثات والهندسة التحليلية. تعليم بيرسون.
- بيريز ، ماجستير (2009). تاريخ الرياضيات: التحديات والفتوحات من خلال شخصياتها. رؤية التحرير Libros.
- فيلوريا ، إن ، وليال ، ج. (2005). الهندسة التحليلية المستوية. افتتاحية فنزويلا CA