نظرية فارينيون: أمثلة وتمارين محلولة - رياضيات - 2025

و نظرية Varignon تنص على أنه إن وجدت الرباعي ترتبط باستمرار نقاط المنتصف من الجانبين، يتم إنشاء متوازي الاضلاع. هذه النظرية صاغها بيير فارينيون ونشرت عام 1731 في كتاب "عناصر الرياضيات".

تم نشر الكتاب بعد سنوات من وفاته. نظرًا لأن Varignon هو من قدم هذه النظرية ، فقد تم تسمية متوازي الأضلاع باسمه. تستند النظرية على الهندسة الإقليدية وتقدم العلاقات الهندسية للأشكال الرباعية.

ما هي نظرية فارينيون؟

ذكر فارينيون أن الشكل الذي يتم تحديده بنقاط المنتصف في الشكل الرباعي سيؤدي دائمًا إلى متوازي الأضلاع ، وستكون مساحة متوازي الأضلاع دائمًا نصف مساحة الشكل الرباعي إذا كان مسطحًا ومحدبًا. فمثلا:

في الشكل ، يمكنك رؤية شكل رباعي بمساحة X ، حيث يتم تمثيل نقاط المنتصف من الجانبين بـ E و F و G و H ، وعند الالتحام ، تشكل متوازي أضلاع. ستكون مساحة الشكل الرباعي هي مجموع مساحات المثلثات المكونة ، ونصفها يتوافق مع مساحة متوازي الأضلاع.

بما أن مساحة متوازي الأضلاع هي نصف مساحة الشكل الرباعي ، فيمكن تحديد محيط هذا متوازي الأضلاع.

وبالتالي ، فإن المحيط يساوي مجموع أطوال أقطار الشكل الرباعي ؛ هذا لأن متوسطات الشكل الرباعي ستكون قطري متوازي الأضلاع.

من ناحية أخرى ، إذا كانت أطوال قطري الشكل الرباعي متطابقة تمامًا ، فسيكون متوازي الأضلاع معينًا. فمثلا:

من الشكل ، يمكن ملاحظة أنه من خلال ضم نقاط المنتصف لجوانب الشكل الرباعي ، يتم الحصول على دالتون. من ناحية أخرى ، إذا كانت أقطار الشكل الرباعي متعامدة ، فسيكون متوازي الأضلاع مستطيلًا.

سيكون متوازي الأضلاع أيضًا مربعًا عندما يكون للشكل الرباعي أقطار بنفس الطول وتكون أيضًا متعامدة.

لا تتحقق النظرية فقط في الأشكال الرباعية المستوية ، بل يتم تنفيذها أيضًا في الهندسة المكانية أو في الأبعاد الكبيرة ؛ وهذا هو ، في تلك الأشكال الرباعية غير المحدبة. مثال على ذلك يمكن أن يكون ثماني السطوح ، حيث تكون نقاط المنتصف هي النقط الوسطى لكل وجه وتشكل خط متوازي.

بهذه الطريقة ، من خلال ضم نقاط الوسط لأشكال مختلفة ، يمكن الحصول على متوازي الأضلاع. طريقة سهلة للتحقق مما إذا كان هذا صحيحًا حقًا هو أن الجانبين المتقابلين يجب أن يكونا متوازيين عند التمديد.

أمثلة

المثال الأول

تمديد الأضلاع المتقابلة لتوضيح أنه متوازي أضلاع:

المثال الثاني

من خلال ضم نقاط المنتصف المعين ، يتم الحصول على مستطيل:

تُستخدم النظرية في اتحاد النقاط الموجودة في منتصف جوانب الشكل الرباعي ، ويمكن أيضًا استخدامها لأنواع أخرى من النقاط ، مثل المقطع الثلاثي ، أو المقطع الخماسي ، أو حتى عدد لا حصر له من الأقسام (ن) ، من أجل تقسيم جوانب أي رباعي إلى مقاطع متناسبة.

تمارين محلولة

التمرين 1

في الشكل لدينا شكل رباعي ABCD للمنطقة Z ، حيث تكون نقاط المنتصف على جانبي هذا PQSR. تحقق من تشكيل متوازي الأضلاع Varignon.

المحلول

يمكن ملاحظة أن الانضمام إلى نقاط PQSR يشكل متوازي أضلاع Varignon ، على وجه التحديد لأن نقاط منتصف الشكل الرباعي ترد في البيان.

لإثبات ذلك ، يتم أولاً ربط نقاط الوسط PQSR ، بحيث يمكن ملاحظة أنه تم تشكيل رباعي آخر. لإثبات أنه متوازي أضلاع ، ما عليك سوى رسم خط مستقيم من النقطة C إلى النقطة A ، لذلك يمكن ملاحظة أن CA متوازي مع PQ و RS.

بنفس الطريقة ، عند تمديد جوانب PQRS ، يمكن ملاحظة أن PQ و RS متوازيتان ، كما هو موضح في الصورة التالية:

تمرين 2

لدينا مستطيل بحيث تكون أطوال أضلاعه متساوية. من خلال ضم نقاط المنتصف لهذه الجوانب ، يتم تكوين المعين ABCD ، والذي يقسم على قطرين AC = 7 سم و BD = 10 سم ، والتي تتطابق مع قياسات جوانب المستطيل. أوجد مساحة المعين والمستطيل.

المحلول

تذكر أن مساحة متوازي الأضلاع الناتجة هي نصف الشكل الرباعي ، يمكن تحديد مساحة هذه مع العلم أن قياس الأقطار يتزامن مع جوانب المستطيل. لذلك عليك أن:

أب = د

القرص المضغوط = د

A _{المستطيل} = (AB _* CD) = (10CM _* 7cm و) = 70CM ²

A _المعين = A _{المستطيل} / 2

A _المعين = 70 سم ² /2 = 35 سم ²

التمرين 3

يوجد في الشكل رباعي الأضلاع به اتحاد النقاط EFGH ، يتم إعطاء أطوال الأجزاء. حدد ما إذا كان اتحاد EFGH متوازي أضلاع.

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 درهم = 2.02

معدل ضربات القلب = 3.94 هكتار = 2.77

المحلول

عندما يتم إعطاء أطوال المقاطع ، يمكن التحقق من وجود تناسب بين المقاطع ؛ أي يمكنك معرفة ما إذا كانت متوازية ، وتربط مقاطع الشكل الرباعي على النحو التالي:

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

ثم يتم التحقق من التناسب ، حيث:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

وبالمثل ، عند رسم خط من النقطة B إلى النقطة D ، يمكن ملاحظة أن EH يوازي BD ، تمامًا مثل BD موازي لـ FG. من ناحية أخرى ، فإن EF موازية لـ GH.

وبالتالي يمكن تحديد أن EFGH متوازي أضلاع ، لأن الأضلاع المتقابلة متوازية.

المراجع

1. أندريس ، ت. (2010). أولمبياد الرياضيات تريسور. سبرينغر. نيويورك.
2. باربوسا ، جيه إل (2006). الهندسة الإقليدية المستوية. SBM. ريو دي جانيرو.
3. هوار ، إي (1969). دراسة الهندسة. المكسيك: من أصل اسباني - أمريكي.
4. رامو ، جي بي (1998). حلول غير معروفة لمشاكل Fermat-Torricelli. ISBN - عمل مستقل.
5. فيرا ، ف. (1943). عناصر الهندسة. بوغوتا
6. فيليرز ، م. (1996). بعض المغامرات في الهندسة الإقليدية. جنوب أفريقيا.