تحويل فورييه: الخصائص والتطبيقات والأمثلة - رياضيات - 2026

و تحويل فورييه هو وسيلة كفاية التحليلي الموجهة إلى وظائف للتكامل الذي ينتمي إلى عائلة من التحويلات التكاملية. يتكون من إعادة تعريف الوظائف f (t) بدلالة Cos (t) و Sen (t).

تعمل الهويات المثلثية لهذه الوظائف ، جنبًا إلى جنب مع خصائص اشتقاقها وخصائصها المضادة ، على تحديد تحويل فورييه من خلال الوظيفة المعقدة التالية:

وهذا صحيح طالما أن التعبير منطقي ، أي عندما يكون التكامل غير الصحيح متقاربًا. جبريًا ، يُقال إن تحويل فورييه هو تماثل خطي.

يجب أن تكون كل دالة يمكن العمل بها مع تحويل فورييه خالية خارج معلمة محددة.

الخصائص

المصدر: pexels

يلبي تحويل فورييه الخصائص التالية:

وجود

للتحقق من وجود تحويل فورييه في دالة f (t) المحددة في R reals ، يجب تحقيق البديهيتين التاليتين:

1. f (t) متواصلة لكل العناصر R
2. f (t) قابل للتكامل في R

خطية تحويل فورييه

لنفترض أن M (t) و N (t) هما أي وظيفتين لهما تحويلات فورييه محددة ، مع أي ثوابت a و b.

و (ض) = أ و (ض) + ب و (ض)

وهو مدعوم أيضًا بخطية تكامل نفس الاسم.

تحويل فورييه لمشتق

توجد دالة f مستمرة وقابلة للتكامل في جميع الحقائق ، حيث:

ومشتق f (f ') متصل ومتعدد التعريف في جميع أنحاء R

يتم تعريف تحويل فورييه للمشتق بالتكامل بالأجزاء ، بالتعبير التالي:

و (ض) = iz F (ض)

في الاشتقاقات ذات الترتيب الأعلى ، سيتم تطبيقها بطريقة متجانسة ، حيث لدينا لكل n 1:

و (ض) = (iz) ^ن و (ض)

تمايز تحويل فورييه

توجد دالة f مستمرة وقابلة للتكامل في جميع الحقائق ، حيث:

تحويل فورييه للترجمة

لكل θ ينتمي إلى مجموعة S و T تنتمي إلى المجموعة S '، لدينا:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

مع عمل τ _a كعامل ترجمة على المتجه أ.

ترجمة تحويل فورييه

لكل θ ينتمي إلى مجموعة S و T تنتمي إلى المجموعة S '، لدينا:

τ _ل F = F τ _ل F = F

لجميع من التي تنتمي إلى R

تحويل فورييه لمجموعة مقياس

لجميع θ التي تنتمي إلى مجموعة S. T التي تنتمي إلى المجموعة S '

λ تنتمي إلى R - {0} لدينا:

F = (1 / -λ-) و ( ص / λ)

F = (1 / -λ-) و (ص / λ)

إذا كانت f دالة متصلة وقابلة للتكامل بوضوح ، حيث تكون a> 0. ثم:

و (ض) = (1 / أ) و (ض / أ)

لتوضيح هذه النتيجة ، يمكننا المضي قدمًا في تغيير المتغير.

عندما T → + ثم s = في → + ∞

عندما T → - ثم s = at → - ∞

تناظر

لدراسة تناظر تحويل فورييه ، يجب التحقق من هوية بارسيفال وصيغة بلانشريل.

لدينا θ و التي تنتمي إلى S. ومن هناك يمكن استنتاج ما يلي:

الحصول على

1 / (2π) ^د { F، F } هوية بارسيفال

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d صيغة بلانشريل

تحويل فورييه لمنتج التواء

السعي لتحقيق أهداف مماثلة كما في تحويل لابلاس ، يشير التفاف الوظائف إلى المنتج بين تحويلات فورييه.

لدينا f و g كدالتين مقيدتين ومحددة وقابلة للتكامل تمامًا:

F (f * g) = F (f). و (ز)

و (و). و (ز) = و (و. ز)

الاستمرارية والسقوط في اللانهاية

ما هو تحويل فورييه؟

إنه يعمل في المقام الأول على تبسيط المعادلات بشكل كبير ، مع تحويل التعبيرات المشتقة إلى عناصر قوة ، مما يدل على التعبيرات التفاضلية في شكل متعدد الحدود قابل للتكامل.

في تحسين النتائج وتعديلها ونمذجةها ، تعمل كتعبير موحد ، كونها موردًا متكررًا للهندسة بعد عدة أجيال.

سلسلة فورييه

وهي سلاسل محددة من حيث جيب التمام والجيب ؛ أنها تعمل على تسهيل العمل مع الوظائف الدورية العامة. عند تطبيقها ، فهي جزء من تقنيات حل المعادلات التفاضلية العادية والجزئية.

تعتبر سلسلة فورييه أكثر عمومية من سلسلة تايلور ، لأنها تطور وظائف دورية متقطعة لا تحتوي على تمثيل متسلسل تايلور.

أشكال أخرى من سلسلة فورييه

لفهم تحويل فورييه تحليليًا ، من المهم مراجعة الطرق الأخرى التي يمكن من خلالها إيجاد سلسلة فورييه ، حتى يمكن تعريف سلسلة فورييه في تدوينها المعقد.

- سلسلة فورييه على دالة الفترة 2L

في كثير من الأحيان يكون من الضروري تكييف بنية سلسلة فورييه مع الوظائف الدورية التي تكون فترتها p = 2L> 0 في الفترة.

- سلسلة فورييه في وظائف فردية وزوجية

يتم أخذ الفاصل الزمني في الاعتبار ، والذي يوفر مزايا عند الاستفادة من الخصائص المتماثلة للوظائف.

إذا كانت f تساوي ، فإن سلسلة فورييه تؤسس كسلسلة من جيب التمام.

إذا كانت f فردية ، يتم إنشاء سلسلة فورييه كسلسلة من الجيب.

- التدوين المركب لسلسلة فورييه

إذا كانت لدينا وظيفة f (t) ، والتي تلبي جميع متطلبات قابلية التطوير لسلسلة فورييه ، فمن الممكن الإشارة إليها في الفترة باستخدام تدوينها المعقد:

التطبيقات

المصدر: pexels

حساب الحل الأساسي

تحويل فورييه هو أداة قوية في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية للنوع الخطي ذات المعاملات الثابتة. تنطبق على الوظائف ذات المجالات غير المحدودة بالتساوي.

مثل تحويل لابلاس ، يقوم فورييه بتحويل دالة مشتقة جزئية إلى معادلة تفاضلية عادية أسهل بكثير للعمل.

تمثل مشكلة كوشي الخاصة بمعادلة الحرارة مجالًا للتطبيق المتكرر لتحويل فورييه حيث يتم إنشاء نواة الحرارة أو وظيفة نواة ديريتشليت.

فيما يتعلق بحساب الحل الأساسي ، يتم تقديم الحالات التالية حيث يكون من الشائع العثور على تحويل فورييه:

نظرية الإشارة

يرجع السبب العام لتطبيق تحويل فورييه في هذا الفرع أساسًا إلى التحلل المميز للإشارة كتراكب غير محدود لإشارات يمكن علاجها بسهولة أكبر.

يمكن أن تكون موجة صوتية أو موجة كهرومغناطيسية ، يعبر عنها تحويل فورييه في تراكب موجات بسيطة. هذا التمثيل شائع جدًا في الهندسة الكهربائية.

من ناحية أخرى ، هناك أمثلة على تطبيق تحويل فورييه في مجال نظرية الإشارة:

أمثلة

مثال 1

حدد تحويل فورييه للتعبير التالي:

يمكننا أيضًا تمثيلها بالطريقة التالية:

و (ر) = سين (ر)

يتم تعريف النبض المستطيل:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

يتم تطبيق تحويل فورييه على التعبير التالي الذي يشبه نظرية التعديل.

و (ر) = ص (ر) سين (ر)

حيث: F = (1/2) i

ويتم تعريف تحويل فورييه من خلال:

F = (1/2) ط

مثال 2

حدد تحويل فورييه للتعبير:

بما أن f (h) دالة زوجية ، فيمكن ذكر ذلك

يتم تطبيق التكامل حسب الأجزاء عن طريق اختيار المتغيرات وفروقها على النحو التالي

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

العنف المنزلي = ح (ه ^ح) ² ت = (ه ^ح) ² /2

استبدال لديك

بعد التقييم في ظل النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل

بتطبيق المعرفة السابقة فيما يتعلق بالمعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى ، يُشار إلى التعبير على أنه

للحصول على K نقوم بتقييمها

أخيرًا ، يتم تعريف تحويل فورييه للتعبير على أنه

تمارين مقترحة

• 

• 

• احصل على تحويل التعبير W / (1 + w ²)

المراجع

1. Duoandikoetxea Zuazo ، J. ، تحليل فورييه. Addison- Wesley Iberoamericana ، جامعة مدريد المستقلة ، 1995.
2. الأسود ، JL ، التحليل الرياضي والطرق العددية للعلوم والتكنولوجيا. سبرينغر - فيرلاغ ، 1990.
3. تحتوي نوى Lieb و EH و Gaussian على مكبرات صوت غاوسية فقط. اخترع. رياضيات. 102 ، 179-208 ، 1990.
4. Dym، H.، McKean، HP، Fourier Series and Integrals. المطبعة الأكاديمية ، نيويورك ، 1972.
5. شوارتز ، ل. ، ثيوري دي ديسبشنز. إد هيرمان ، باريس ، 1966.