تحويل لابلاس: التعريف والتاريخ وما الغرض منه - رياضيات - 2026

كان تحويل لابلاس في السنوات الأخيرة ذا أهمية كبيرة في الدراسات الهندسية والرياضيات والفيزياء ، من بين المجالات العلمية الأخرى ، بالإضافة إلى كونه ذا أهمية كبيرة في النظرية ، يوفر طريقة بسيطة لحل المشكلات التي تأتي من العلوم والهندسة.

في الأصل ، تم تقديم تحويل لابلاس من قبل بيير سيمون لابلاس في دراسته حول نظرية الاحتمالية وتم التعامل معه في البداية ككائن رياضي ذي أهمية نظرية بحتة.

تظهر التطبيقات الحالية عندما حاول العديد من علماء الرياضيات تقديم تبرير رسمي لـ "القواعد التشغيلية" التي استخدمها Heaviside في دراسة معادلات النظرية الكهرومغناطيسية.

تعريف

لنفترض أن f دالة محددة لـ t ≥ 0. يتم تعريف تحويل لابلاس على النحو التالي:

يقال إن تحويل لابلاس موجود إذا تقارب التكامل السابق ، وإلا يُقال إن تحويل لابلاس غير موجود.

بشكل عام ، تُستخدم الأحرف الصغيرة للإشارة إلى الوظيفة المراد تحويلها ويتوافق الحرف الكبير مع تحويلها. بهذه الطريقة سيكون لدينا:

أمثلة

لنفترض أن الدالة الثابتة f (t) = 1. لدينا تحويلها هو:

عندما يتقارب التكامل ، يكون ذلك عندما يكون s> 0. وبخلاف ذلك ، s <0 ، يتباعد التكامل.

دع g (t) = t. يتم إعطاء تحويل لابلاس بواسطة

من خلال التكامل حسب الأجزاء ومعرفة أن te ^-st يميل إلى 0 عندما تميل إلى اللانهاية و s> 0 ، جنبًا إلى جنب مع المثال السابق لدينا:

قد يكون التحويل موجودًا أو غير موجود ، على سبيل المثال بالنسبة للوظيفة f (t) = 1 / t لا يتقارب التكامل الذي يحدد تحويل لابلاس الخاص به ، وبالتالي لا يوجد تحويله.

الشروط الكافية لضمان وجود تحويل لابلاس للدالة f هي أن f متواصلة متعددة التعريف لـ t 0 ولها ترتيب أسي.

يُقال أن الدالة متصلة متعددة العناصر لـ t ≥ 0 ، عندما يكون هناك عدد محدود من النقاط بالنسبة لأي فترة زمنية بها> 0 _، حيث يكون لـ f انقطاع واستمرارية في كل فترة فرعية.

من ناحية أخرى ، يُقال أن الوظيفة ذات الترتيب الأسي c إذا كانت هناك ثوابت حقيقية M> 0 و c و T> 0 مثل:

كأمثلة لدينا أن f (t) = t ^{2 لها} ترتيب أسي ، منذ -t ² - <e ^3t لكل t> 0.

بطريقة رسمية لدينا النظرية التالية

نظرية (شروط كافية للوجود)

إذا كانت f دالة مستمرة لجزء من أجل t> 0 وللترتيب الأسي c ، فإن تحويل لابلاس موجود لـ s> c.

من المهم التأكيد على أن هذا شرط كفاية ، أي أنه يمكن أن يكون هناك وظيفة لا تلبي هذه الشروط وحتى مع وجود تحويل لابلاس الخاص بها.

مثال على ذلك هو الدالة f (t) = t ^-1/2 التي ليست متصلة متعددة ^{الأجزاء} لـ t ≥ 0 ولكن تحويل لابلاس موجود.

تحويل لابلاس لبعض الوظائف الأساسية

يوضح الجدول التالي تحويلات لابلاس للوظائف الأكثر شيوعًا.

التاريخ

يعود اسم تحويل لابلاس إلى بيير سيمون لابلاس ، عالم الرياضيات والفلك النظري الفرنسي الذي ولد عام 1749 وتوفي عام 1827. اشتهرت شهرته باسم نيوتن في فرنسا.

في عام 1744 كرس ليونارد أويلر دراساته للتكامل مع الشكل

كحلول للمعادلات التفاضلية العادية ، لكنه سرعان ما تخلى عن هذا التحقيق. في وقت لاحق ، قام جوزيف لويس لاغرانج ، الذي كان معجبًا جدًا بأويلر ، بالتحقيق في هذه الأنواع من التكاملات وربطها بنظرية الاحتمالات.

1782 ، لابلاس

في عام 1782 بدأ لابلاس بدراسة التكاملات مثل حلول المعادلات التفاضلية ، ووفقًا للمؤرخين ، قرر في عام 1785 إعادة صياغة المشكلة ، والتي أدت لاحقًا إلى ظهور تحويلات لابلاس كما هي مفهومة اليوم.

بعد إدخالها في مجال نظرية الاحتمالات ، لم تكن ذات أهمية كبيرة للعلماء في ذلك الوقت ولم يُنظر إليها إلا على أنها كائن رياضي ذي اهتمام نظري فقط.

أوليفر هيفيسايد

كان ذلك في منتصف القرن التاسع عشر عندما اكتشف المهندس الإنجليزي أوليفر هيفيسايد أنه يمكن التعامل مع العوامل التفاضلية على أنها متغيرات جبرية ، مما يعطي لابلاس تحويلات لتطبيقها الحديث.

كان أوليفر هيفيسايد فيزيائيًا إنكليزيًا ومهندسًا كهربائيًا وعالمًا للرياضيات ولد في لندن عام 1850 وتوفي عام 1925. وأثناء محاولته حل مشكلات المعادلات التفاضلية المطبقة على نظرية الاهتزازات واستخدام دراسات لابلاس ، بدأ في تشكيل التطبيقات الحديثة لتحويلات لابلاس.

انتشرت النتائج التي قدمها هيفيسايد بسرعة في جميع أنحاء المجتمع العلمي في ذلك الوقت ، ولكن نظرًا لأن عمله لم يكن صارمًا ، سرعان ما تم انتقاده من قبل علماء الرياضيات الأكثر تقليدية.

ومع ذلك ، فإن فائدة عمل هيفيسايد في حل المعادلات في الفيزياء جعلت أساليبه شائعة لدى الفيزيائيين والمهندسين.

على الرغم من هذه النكسات وبعد عدة عقود من المحاولات الفاشلة ، يمكن في بداية القرن العشرين تقديم تبرير صارم للقواعد التشغيلية التي قدمها هيفيسايد.

أثمرت هذه المحاولات بفضل جهود العديد من علماء الرياضيات مثل برومويتش ، كارسون ، فان دير بول ، من بين آخرين.

الخصائص

من بين خصائص تحويل لابلاس ما يلي:

الخطية

دع c1 و c2 عبارة عن ثوابت ووظائف f (t) و g (t) التي تكون تحويلات لابلاس هي F (s) و G (s) على التوالي ، ثم لدينا:

بسبب هذه الخاصية ، يُقال أن تحويل لابلاس عامل خطي.

مثال

نظرية الترجمة الأولى

إذا حدث أن:

و "أ" هو أي رقم حقيقي ، لذلك:

مثال

بما أن تحويل لابلاس لـ cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) إذن:

نظرية الترجمة الثانية

نعم

وبالتالي

مثال

إذا كانت f (t) = t ^ 3 ، فإن F (s) = 6 / s ^ 4. وبالتالي فإن تحويل

هو G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

تغيير الحجم

نعم

و "a" هي حقيقة غير صفرية ، علينا أن نفعل ذلك

مثال

بما أن تحويل f (t) = sin (t) هو F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) لدينا ذلك

تحويل لابلاس للمشتقات

إذا و، و، و ''،…، و ^(ن) والمستمر لر ≥ 0 وهناك من أجل الأسي وو ^(ن) (ر) هو مستمر دالة متعددة التعريف لر ≥ 0، ثم

تحويل لابلاس للتكاملات

نعم

وبالتالي

الضرب ب t

إذا كان علينا ذلك

وبالتالي

القسمة على t

إذا كان علينا ذلك

وبالتالي

وظائف دورية

لنفترض أن f دالة دورية ذات فترة T> 0 ، أي f (t + T) = f (t) ، إذن

سلوك F (s) كما يميل إلى اللانهاية

إذا كانت f متصلة في أجزاء وذات ترتيب أسي و

وبالتالي

التحويلات العكسية

عندما نطبق تحويل لابلاس على دالة f (t) نحصل على F (s) التي تمثل هذا التحويل. بنفس الطريقة يمكننا أن نقول أن f (t) هو معكوس تحويل لابلاس لـ F (s) ويتم كتابته كـ

نحن نعلم أن تحويلات لابلاس لـ f (t) = 1 و g (t) = t هي F (s) = 1 / s و G (s) = 1 / s ² على التوالي ، لذلك لدينا ذلك

بعض تحويلات لابلاس المعكوسة الشائعة هي كما يلي

علاوة على ذلك ، فإن تحويل لابلاس المعكوس خطي ، أي أنه صحيح

ممارسه الرياضه

تجد

لحل هذا التمرين ، يجب أن نطابق الوظيفة F (s) بأحد الجدول السابق. في هذه الحالة ، إذا أخذنا + 1 = 5 واستخدمنا خاصية الخطية للتحويل العكسي ، فإننا نضرب ونقسم على 4! الحصول على

بالنسبة للتحويل العكسي الثاني ، نطبق كسورًا جزئية لإعادة كتابة الدالة F (s) ثم خاصية الخطية ، للحصول على

كما نرى من هذه الأمثلة ، من الشائع أن الوظيفة F (s) التي تم تقييمها لا تتطابق بدقة مع أي من الوظائف الواردة في الجدول. في هذه الحالات ، كما يتضح ، يكفي إعادة كتابة الوظيفة حتى الوصول إلى الشكل المناسب.

تطبيقات تحويل لابلاس

المعادلات التفاضلية

التطبيق الرئيسي لتحويلات لابلاس هو حل المعادلات التفاضلية.

باستخدام خاصية تحويل المشتق من الواضح أن

تم تقييم Y من مشتقات n-1 عند t = 0.

تجعل هذه الخاصية التحويل مفيدًا جدًا لحل مشاكل القيمة الأولية حيث يتم تضمين المعادلات التفاضلية ذات المعاملات الثابتة.

توضح الأمثلة التالية كيفية استخدام تحويل لابلاس لحل المعادلات التفاضلية.

مثال 1

بالنظر إلى مشكلة القيمة الأولية التالية

استخدم تحويل لابلاس لإيجاد الحل.

نطبق تحويل لابلاس على كل عضو في المعادلة التفاضلية

من خلال خاصية تحويل المشتق لدينا

من خلال تطوير كل التعبيرات وتصفية Y (s) لدينا

باستخدام الكسور الجزئية لإعادة كتابة الجانب الأيمن من المعادلة التي نحصل عليها

أخيرًا ، هدفنا هو إيجاد دالة y (t) التي تحقق المعادلة التفاضلية. باستخدام معكوس تحويل لابلاس يعطينا النتيجة

مثال 2

حل

كما في الحالة السابقة ، نطبق التحويل على جانبي المعادلة ومصطلح منفصل حسب المصطلح.

بهذه الطريقة لدينا نتيجة

الاستبدال بالقيم الأولية المعطاة وحل Y (s)

باستخدام الكسور البسيطة ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي

وتطبيق معكوس تحويل لابلاس يعطينا النتيجة

في هذه الأمثلة ، قد يستنتج المرء خطأً أن هذه الطريقة ليست أفضل بكثير من الطرق التقليدية لحل المعادلات التفاضلية.

تتمثل مزايا تحويل لابلاس في أنك لست بحاجة إلى استخدام تباين المعلمات أو القلق بشأن الحالات المختلفة لطريقة المعامل غير المحدد.

بالإضافة إلى ذلك ، عند حل مشاكل القيمة الأولية بهذه الطريقة ، نستخدم منذ البداية الشروط الأولية ، لذلك ليس من الضروري إجراء حسابات أخرى لإيجاد الحل المعين.

نظم المعادلات التفاضلية

يمكن أيضًا استخدام تحويل لابلاس لإيجاد حلول للمعادلات التفاضلية العادية المتزامنة ، كما يوضح المثال التالي.

مثال

حل

بالشروط الأولية x (0) = 8 و y (0) = 3.

إذا كان علينا ذلك

وبالتالي

الحل يعطينا نتيجة لذلك

ونطبق معكوس تحويل لابلاس الذي لدينا

الميكانيكا والدوائر الكهربائية

يعتبر تحويل لابلاس ذا أهمية كبيرة في الفيزياء ، وله بشكل أساسي تطبيقات للميكانيكا والدوائر الكهربائية.

تتكون الدائرة الكهربائية البسيطة من العناصر التالية

مفتاح ، بطارية أو مصدر ، مغو ، مقاوم ، ومكثف. عندما يكون المفتاح مغلقًا ، يتم إنتاج تيار كهربائي يُشار إليه بـ i (t). يُشار إلى شحنة المكثف بالرمز q (t).

وفقًا لقانون Kirchhoff الثاني ، يجب أن يكون الجهد الناتج عن المصدر E في الدائرة المغلقة مساويًا لمجموع كل من قطرات الجهد.

يرتبط التيار الكهربائي i (t) بالشحنة q (t) على المكثف بواسطة i = dq / dt. من ناحية أخرى ، يتم تحديد انخفاض الجهد في كل عنصر على النحو التالي:

انخفاض الجهد عبر المقاوم هو iR = R (dq / dt)

انخفاض الجهد عبر محث هو L (di / dt) = L (d ² q / dt ²)

انخفاض الجهد عبر المكثف هو q / C

باستخدام هذه البيانات وتطبيق قانون كيرشوف الثاني على الدائرة المغلقة البسيطة ، يتم الحصول على معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية تصف النظام وتسمح لنا بتحديد قيمة q (t).

مثال

يتم توصيل محث ومكثف ومقاوم ببطارية E ، كما هو موضح في الشكل. الحث 2 هنري ، المكثف 0.02 فاراد والمقاومة 16 أوم. في الوقت t = 0 الدائرة مغلقة. أوجد الشحنة والتيار في أي وقت t> 0 إذا كانت E = 300 فولت.

لدينا أن المعادلة التفاضلية التي تصف هذه الدائرة هي التالية

حيث تكون الشروط الأولية q (0) = 0 ، i (0) = 0 = q '(0).

بتطبيق تحويل لابلاس نحصل على ذلك

وحل Q (t)

ثم نطبق معكوس تحويل لابلاس الذي لدينا

المراجع

1. هولبروك ، ج. (1987). تحويل لابلاس لمهندسي الإلكترونيات. ليموزا.
2. رويز ، إل إم ، وهرنانديز ، عضو البرلمان (2006). المعادلات التفاضلية وتحويل لابلاس مع التطبيقات. UPV الافتتاحية.
3. سيمونز ، جي إف (1993). المعادلات التفاضلية مع التطبيقات والملاحظات التاريخية. ماكجرو هيل.
4. شبيجل ، إم آر (1991). يتحول لابلاس. ماكجرو هيل.
5. زيل ، دي جي ، وكولين ، إم آر (2008). المعادلات التفاضلية مع مشاكل القيمة الحدودية. Cengage Learning Editores، SA