شبه منحرف SCALENE: الخصائص والصيغ والمعادلات ، أمثلة - رياضيات - 2026

و شبه منحرف مختلف الأضلاع هو مضلع مع الجوانب الأربعة، اثنان منها موازية لبعضها البعض، ومع أربعة الزوايا الداخلية من التدابير المختلفة.

الشكل الرباعي ABCD موضح أدناه ، حيث يتوازى الضلعان AB و DC مع بعضهما البعض. هذا كافٍ ليكون شبه منحرف ، ولكن أيضًا الزوايا الداخلية α و و γ و كلها مختلفة ، وبالتالي فإن شبه المنحرف عبارة عن سلق.

الشكل 1. الشكل الرباعي ABCD هو شبه منحرف حسب الشرط 1 و scalene حسب الشرط 2. المصدر: F. Zapata.

عناصر من سكالين شبه منحرف

فيما يلي أهم العناصر المميزة:

- القواعد والجوانب: الجوانب المتوازية للشبه منحرف هي قواعده والجانبان غير المتوازيين هما الضلعان.

في شبه منحرف Scene ، تكون القواعد ذات أطوال مختلفة والقواعد الجانبية أيضًا. ومع ذلك ، يمكن أن يكون للشبه المنحرف ذو الشكل الجانبي مساوٍ في الطول للقاعدة.

-المتوسط: هو الجزء الذي يصل بين نقاط المنتصف الجانبية.

-القطري: قطري شبه المنحرف هو الجزء الذي يربط بين رأسين متقابلين. شبه المنحرف ، مثل كل رباعي الأضلاع ، له قطرين. في شبه منحرف Scene لها أطوال مختلفة.

شبه منحرف أخرى

إلى جانب شبه منحرف Scene ، هناك شبه منحرف أخرى: شبه منحرف الأيمن وشبه منحرف متساوي الساقين.

شبه المنحرف هو مستطيل عندما تكون إحدى زواياه قائمة ، بينما شبه المنحرف متساوي الساقين له جوانب متساوية الطول.

الشكل شبه المنحرف له العديد من التطبيقات على مستوى التصميم والصناعة ، مثل تكوين أجنحة الطائرات ، وشكل الأشياء اليومية مثل الطاولات ، وظهر الكرسي ، والتعبئة ، والمحافظ ، والمطبوعات النسيجية والمزيد.

الشكل 2. الشكل شبه المنحرف شائع في تكوين أجنحة الطائرات. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

الخصائص

يتم سرد خصائص شبه المنحرف المتدرج أدناه ، والعديد منها يمتد إلى الأنواع الأخرى من شبه المنحرف. فيما يلي ، عندما يتم الحديث عن "شبه منحرف" ، سيتم تطبيق الخاصية على أي نوع ، بما في ذلك scalene.

1. إن وسيط شبه المنحرف ، أي الجزء الذي يصل بين نقاط المنتصف في أضلاعه غير المتوازية ، يوازي أي من القواعد.

2.- طول وسيط شبه منحرف يساوي نصف طول قواعده ويقطع أقطاره عند نقطة المنتصف.

3.- تتقاطع أقطار شبه منحرف عند نقطة تقسمها إلى قسمين يتناسبان مع حاصل القاعدتين.

4.- مجموع مربعات أقطار شبه منحرف يساوي مجموع مربعات أضلاعه زائد حاصل الضرب المزدوج لقواعده.

5.- المقطع الذي يصل بين نقاط منتصف الأقطار له طول يساوي نصف فرق القواعد.

6.- الزوايا المجاورة للزوايا الجانبية مكملة.

7.- في شبه منحرف متعرج ، تختلف أطوال أقطارها.

8.- شبه منحرف له محيط منقوش فقط إذا كان مجموع قواعده يساوي مجموع أضلاعه.

9.- إذا كان شبه المنحرف له محيط محفور ، فإن الزاوية التي يكون الرأس في مركز المحيط المذكور والجوانب التي تمر عبر نهايات جانب شبه المنحرف تكون مستقيمة.

10.- لا يوجد محيط شبه منحرف سكالين ، النوع الوحيد من شبه المنحرف هو متساوي الساقين.

الصيغ والمعادلات

يشار إلى العلاقات التالية لشبه المنحرف المتدرج إلى الشكل التالي.

1.- إذا كانت AE = ED و BF = FC → EF - AB و EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2 أي: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = د ₁ /2 و AG = GC = د ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) بالمثل CJ / JA = (c / a).

الشكل 3. وسيط وأقطار من شبه منحرف سكالين. المصدر: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

بالتساوي:

د ₁ ² + د ₂ ² = د ² + ب ² + 2 أ ج

6.- GI = (AB - DC) / 2

ذلك بالقول:

ن = (أ - ج) / 2

7.- α + δ = 180⁰ و β + = 180⁰

8.- إذا كانت α ≠ β ≠ γ ≠ δ ثم d1 ≠ d2.

9.- يوضح الشكل 4 شبه منحرف سرجيني له محيط منقوش ، وفي هذه الحالة يكون صحيحًا أن:

أ + ج = د + ب

10.- في شكل شبه منحرف ABCD ذو محيط محفور للمركز O ، ما يلي صحيح أيضًا:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

الشكل 4. إذا تم التحقق في شبه منحرف من أن مجموع قواعده يساوي مجموع القواعد الجانبية ، فسيكون هناك محيط محفور فيه. المصدر: F. Zapata.

ارتفاع

يتم تعريف ارتفاع شبه المنحرف على أنه المقطع الذي ينتقل من نقطة القاعدة بشكل عمودي إلى القاعدة المقابلة (أو امتدادها).

جميع ارتفاعات شبه المنحرف لها نفس القياس h ، لذلك يشير ارتفاع الكلمة في معظم الأوقات إلى قياسها. باختصار ، الارتفاع هو المسافة أو المسافة الفاصلة بين القواعد.

يمكن تحديد الارتفاع h من خلال معرفة طول أحد الأضلاع وإحدى الزوايا المجاورة له:

ح = د سين (α) = د سين (γ) = ب سين (β) = ب سين (δ)

الوسيط

القياس م لمتوسط ​​شبه المنحرف هو نصف مجموع القواعد:

م = (أ + ب) / 2

الأقطار

د ₁ = √

د ₂ = √

يمكن أيضًا حسابه إذا كان طول جوانب شبه المنحرف معروفًا فقط:

د ₁ = √

د ₂ = √

محيط

المحيط هو الطول الإجمالي للمحيط ، أي مجموع كل جوانبه:

P = أ + ب + ج + د

منطقة

مساحة شبه المنحرف هي نصف قواعدها مضروبة في ارتفاعها:

أ = ح ∙ (أ + ب) / 2

يمكن أيضًا حسابه إذا كان الوسيط m معروفًا والارتفاع h:

أ = م ∙ ح

في حالة معرفة طول جوانب شبه المنحرف فقط ، يمكن تحديد المنطقة باستخدام صيغة هيرون للشبه المنحرف:

أ = ∙ √

حيث s هو semiperimeter: s = (a + b + c + d) / 2.

النسب الأخرى للالقلب شبه المنحرف

يؤدي تقاطع الوسيط مع الأقطار والتوازي الذي يمر عبر تقاطع الأقطار إلى ظهور علاقات أخرى.

الشكل 5. علاقات أخرى لشكل المنحرف Scalene. المصدر: F. Zapata.

- العلاقات للوسيط EF

EF = (a + c) / 2 ؛ EG = IF = c / 2 ؛ EI = GF = أ / 2

- العلاقات للقطعة الموازية للقواعد KL ، والمرور عبر نقطة التقاطع J للأقطار

إذا كان KL - AB - DC مع J ∈ KL ، فإن KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

بناء شبه منحرف مع مسطرة وبوصلة

بالنظر إلى قاعدتي الأطوال a و c ، حيث a> cy مع جوانب الأطوال b و d ، حيث b> d ، تابع باتباع الخطوات التالية (انظر الشكل 6):

1.- مع القاعدة يتم رسم مقطع AB الرئيسي.

2.- من A se وعلى AB علامة النقطة P بحيث تكون AP = c.

3.- مع البوصلة مع المركز في P ونصف القطر د يتم رسم قوس.

4.- يتم عمل المركز عند B مع نصف القطر b عن طريق رسم قوس يتقاطع مع القوس المرسوم في الخطوة السابقة. نسمي Q نقطة التقاطع.

الشكل 6. بناء شبه منحرف سرجين بالنظر إلى جوانبه. المصدر: F. Zapata.

5.- مع المركز عند أ ارسم قوس نصف قطر د.

6.- مع المركز عند Q ، ارسم قوسًا نصف قطره c يعترض القوس المرسوم في الخطوة السابقة. سيطلق على نقطة الفصل R.

7.- يتم رسم المقاطع BQ و QR و RA باستخدام المسطرة.

8.- الشكل الرباعي ABQR هو شبه منحرف سرجيني ، حيث أن APQR متوازي أضلاع ، مما يضمن أن AB - QR.

مثال

الأطوال التالية موضحة بالسنتيمترات: 7 ، 3 ، 4 و 6.

أ) حدد ما إذا كان من الممكن إنشاء شبه منحرف سرجيني يمكن أن يحيط دائرة.

ب) أوجد المحيط والمساحة وطول الأقطار وارتفاع شبه المنحرف المذكور وكذلك نصف قطر الدائرة المنقوشة.

- الاجابه على

باستخدام المقاطع ذات الطول 7 و 3 كقواعد وطول 4 و 6 كجوانب ، يمكن إنشاء شبه منحرف متدرج باستخدام الإجراء الموضح في القسم السابق.

يبقى التحقق مما إذا كان محيطه محفورًا ، ولكن تذكر الخاصية (9):

نحن نرى ذلك بشكل فعال:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

ثم يتم استيفاء شرط وجود المحيط المدرج.

- الحل ب

محيط

يتم الحصول على المحيط P بجمع الأضلاع. نظرًا لأن القواعد تضيف ما يصل إلى 10 والقواعد الجانبية أيضًا ، فإن المحيط هو:

P = 20 سم

منطقة

لتحديد المنطقة ، المعروفة فقط جوانبها ، يتم تطبيق العلاقة:

أ = ∙ √

حيث s هو semiperimeter:

ق = (أ + ب + ج + د) / 2.

في حالتنا ، يساوي مقياس نصف القطر s = 10 سم. بعد استبدال القيم المعنية:

أ = 7 سم ؛ ب = 6 سم ؛ ج = 3 سم ؛ د = 4 سم

بقي:

أ = √ = (5/2) √63 = 19.84 سم².

ارتفاع

يرتبط الارتفاع h بالمنطقة A بالتعبير التالي:

أ = (أ + ج) ∙ ح / 2 ، يمكن من خلاله الحصول على الارتفاع بالمقاصة:

ح = 2A / (أ + ج) = 2 * 19.84 / 10 = 3.988 سم.

نصف قطر الدائرة المنقوشة

نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي نصف الارتفاع:

r = h / 2 = 1،984 سم

الأقطار

أخيرًا نجد طول الأقطار:

د ₁ = √

د ₂ = √

استبدال القيم التي لدينا بشكل صحيح:

د ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

د ₂ = = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

أي: د ₁ = 4.69 سم ، د ₂ = 8.49 سم

الشكل 7. شبه منحرف Scalene الذي يلبي شرط وجود محيط منقوش. المصدر: F. Zapata.

تمرين حل

حدد الزوايا الداخلية لشبه المنحرف مع القواعد AB = a = 7 ، CD = c = 3 والزوايا الجانبية BC = b = 6 ، DA = d = 4.

المحلول

يمكن تطبيق نظرية جيب التمام لتحديد الزوايا. على سبيل المثال ، يتم تحديد الزاوية ∠A = α من المثلث ABD حيث AB = a = 7 و BD = d2 = 8.49 و DA = d = 4.

تبدو نظرية جيب التمام المطبقة على هذا المثلث كما يلي:

د ₂ ² = أ ² + د ² - 2 ∙ أ ∙ د ∙ كوس (α) ، أي:

72 = 49 + 16-56 ∙ كوس (α).

الحل من أجل الحصول على جيب تمام الزاوية α:

كوس (α) = -1/8

أي α = ArcCos (-1/8) = 97.18⁰.

يتم الحصول على الزوايا الأخرى بنفس الطريقة ، وقيمها هي:

β = 41.41⁰ ؛ γ = 138.59⁰ وأخيرًا δ = 82.82⁰.

المراجع

1. CEA (2003). عناصر الهندسة: مع التدريبات وهندسة البوصلة. جامعة ميديلين.
2. Campos ، F. ، Cerecedo ، FJ (2014). الرياضيات 2. افتتاحية Grupo باتريا.
3. فريد ، ك. (2007). اكتشف المضلعات. شركة بنشمارك التعليمية.
4. هندريك ، ف. (2013). المضلعات المعممة. بيرخاوسر.
5. IGER. (سادس). الرياضيات الفصل الدراسي الأول تاكانا. IGER.
6. هندسة الابن. (2014). المضلعات. لولو برس ، إنك.
7. ميلر ، هيرين ، وهورنسبي. (2006). الرياضيات: التفكير والتطبيقات (الإصدار العاشر). تعليم بيرسون.
8. باتينيو ، م. (2006). الرياضيات 5. الافتتاحية Progreso.
9. ويكيبيديا. أرجوحة. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com