شبه منحرف متساوي الساقين: الخصائص والعلاقات والصيغ والأمثلة - رياضيات - 2025

و متساوي الساقين شبه منحرف غير الرباعي في اثنين من الجانبين هي موازية لبعضها البعض وبالإضافة إلى ذلك، وهما الزوايا المجاورة لواحدة من تلك الجانبين موازية لها نفس الإجراء.

في الشكل 1 لدينا الشكل الرباعي ABCD ، حيث يكون الضلعان AD و BC متوازيين. بالإضافة إلى ذلك ، فإن الزاويتين ∠DAB و ADC المتاخمتين للجانب الموازي AD لهما نفس القياس α.

الشكل 1. شبه منحرف متساوي الساقين. المصدر: F. Zapata.

إذن هذا الشكل الرباعي ، أو المضلع رباعي الأضلاع ، هو في الواقع شبه منحرف متساوي الساقين.

في شبه منحرف ، تسمى الجوانب المتوازية القواعد وتسمى الجوانب غير المتوازية بالأطراف. ومن الخصائص المهمة الأخرى الارتفاع ، وهو المسافة التي تفصل بين الجانبين المتوازيين.

بالإضافة إلى شبه منحرف متساوي الساقين ، هناك أنواع أخرى من شبه المنحرف:

-T rapzoid scalene ، والتي لها جميع زواياها وجوانبها المختلفة.

- اللفت المستطيل ، حيث يوجد جانب واحد له زوايا متجاورة.

الشكل شبه المنحرف شائع في مختلف مجالات التصميم والهندسة المعمارية والإلكترونيات والحساب وغيرها الكثير ، كما سنرى لاحقًا. ومن هنا تأتي أهمية التعرف على خصائصه.

الخصائص

حصري لشبه المنحرف متساوي الساقين

إذا كان شبه المنحرف هو متساوي الساقين ، فإن له الخصائص المميزة التالية:

1.- الجانبين لهما نفس القياس.

2.- الزوايا المجاورة للقواعد متساوية.

3.- الزوايا المعاكسة مكملة.

4.- الأقطار لها نفس الطول ، والجزءان اللذان يصلان بالرؤوس المتقابلة متماثلان.

5.- الزاوية المتكونة بين القواعد والأقطار كلها من نفس القياس.

6.- لها محيط محدد.

على العكس من ذلك ، إذا كان شبه منحرف يتوافق مع أي من الخصائص المذكورة أعلاه ، فهو شبه منحرف متساوي الساقين.

إذا كانت إحدى الزوايا في شبه منحرف متساوي الساقين مستقيمة (90 درجة) ، فستكون جميع الزوايا الأخرى صحيحة أيضًا ، وتشكل مستطيلًا. أي أن المستطيل هو حالة خاصة لشبه منحرف متساوي الساقين.

شكل 2. حاوية الفشار وطاولات المدرسة على شكل شبه منحرف متساوي الساقين. المصدر: Pxfuel (يسار) / McDowell Craig عبر Flickr. (حق)

لجميع أرجوحة

مجموعة الخصائص التالية صالحة لأي شبه منحرف:

7.- وسيط شبه المنحرف ، أي الجزء الذي يصل بين نقاط منتصف أضلاعه غير المتوازية ، يوازي أي من القواعد.

8.- طول الوسيط يساوي نصف (مجموع مقسوم على 2) لطول قاعدته.

9.- يقطع وسيط شبه منحرف أقطاره عند نقطة المنتصف.

10.- تتقاطع أقطار شبه المنحرف عند نقطة تقسمها إلى قسمين متناسبين مع حاصل القاعدتين.

11.- مجموع مربعات أقطار شبه منحرف يساوي مجموع مربعات أضلاعه زائد حاصل الضرب المزدوج لقواعده.

12.- المقطع الذي يصل بين نقاط المنتصف للأقطار له طول يساوي نصف الفرق للقواعد.

13.- الزوايا المجاورة للجوانب مكملة.

14.- شبه منحرف له محيط نقش إذا وفقط إذا كان مجموع قواعده مساويًا لمجموع أضلاعه.

15.- إذا كان شبه منحرف له محيط منقوش ، فإن الزوايا التي يكون رأسها في وسط المحيط المذكور والجوانب التي تمر عبر نهايات نفس الجانب هي الزوايا القائمة.

العلاقات والصيغ

يشار إلى المجموعة التالية من العلاقات والصيغ إلى الشكل 3 ، حيث تظهر ، بالإضافة إلى شبه منحرف متساوي الساقين ، مقاطع أخرى مهمة سبق ذكرها ، مثل الأقطار والارتفاع والمتوسط.

الشكل 3. الوسيط ، والأقطار ، والارتفاع ، والمحيط المحدود في شبه منحرف متساوي الساقين. المصدر: F. Zapata.

العلاقات الفريدة بين شبه المنحرف متساوي الساقين

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA و ABC = BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º و CDA + ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- تنتمي A و B و C و D إلى الدائرة المحددة.

العلاقات لأي أرجوحة

1. إذا كان AK = KB و DL = LC ⇒ KL - AD و KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 و DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC و DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º و ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- إذا كان AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R من مسافات متساوية من AD و BC و AB و DC

15.- إذا كانت ∃ R على مسافة متساوية من AD و BC و AB و DC ، إذن:

∡BRA = ∡DRC = 90º

علاقات شبه منحرف متساوي الساقين مع محيط منقوش

إذا كان مجموع القواعد في شبه منحرف متساوي الساقين يساوي ضعف واحد جانبي ، فإن الدائرة المنقوشة موجودة.

الشكل 4. شبه منحرف مع محيط منقوش. المصدر: F. Zapata.

تنطبق الخصائص التالية عندما يكون لشبه منحرف متساوي الساقين محيط منقوش (انظر الشكل 4 أعلاه):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- تتقاطع الأقطار بزوايا قائمة: AC ⊥ BD

18.- يقيس الارتفاع نفس الوسيط: HF = KL أي h = m.

19.- مربع الارتفاع يساوي حاصل ضرب القاعدة: h ² = BC⋅AD

20.- في ظل هذه الظروف المحددة ، تكون مساحة شبه المنحرف مساوية لمربع الارتفاع أو ناتج القواعد: المنطقة = h ² = BC⋅AD.

صيغ تحديد جانب واحد ومعرفة الجوانب الأخرى والزاوية

معرفة القاعدة والزاوية والقاعدة ، يمكن تحديد القاعدة الأخرى من خلال:

أ = ب + 2 ج كوس α

ب = أ - 2 ج كوس α

إذا تم إعطاء طول القواعد والزاوية على أنها بيانات معروفة ، فإن أطوال كلا الجانبين هي:

ج = (أ - ب) / (2 كوس α)

تحديد جانب واحد ومعرفة الآخر وقطري

أ = (د ₁ ² - ج ²) / ب ؛

ب = (د ₁ ² - ج ²) / أ

ج = √ (د ₁ ² - أ⋅ ب)

حيث d ₁ هو طول الأقطار.

القاعدة من الارتفاع والمساحة والقاعدة الأخرى

أ = (2 أ) / ح - ب

ب = (2 أ) / ح - أ

القواعد الجانبية المعروفة والمساحة والزاوية

ج = (2 أ) /

الوسيط الجانبي المعروف والمساحة والزاوية

ج = A / (م الخطيئة α)

ارتفاع معروف الجانبين

ح = √

ارتفاع معروف بزاوية وجانبين

ح = tg α⋅ (أ - ب) / 2 = ج. الخطيئة α

تعرف الأقطار بجميع الجوانب أو الجانبين والزاوية

د ₁ = √ (ج ² + أب)

د ₁ = √ (أ ² + ج ² - 2 ميلان كوس α)

د ₁ = √ (ب ² + ج ² - 2 قبل الميلاد كوس β)

محيط المثلث متساوي الساقين

P = أ + ب + 2 ج

منطقة شبه منحرف متساوي الساقين

هناك العديد من الصيغ لحساب المنطقة ، اعتمادًا على البيانات المعروفة. وأشهرها ما يلي حسب الأسس والارتفاع:

أ = ح⋅ (أ + ب) / 2

ويمكنك أيضًا استخدام هؤلاء الآخرين:

- إذا عرفت الأضلاع

أ = √

-عندما يكون لديك جانبان وزاوية

أ = (ب + ج كوس α) ج سين α = (أ - ج كوس α) ج سين α

- إذا عرف نصف قطر الدائرة المنقوشة والزاوية

أ = 4 ص ² / سين α = 4 ص ² / سين β

- عند معرفة الأسس والزاوية

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-إذا كان شبه المنحرف يمكن نقش محيط

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (أ + ب) / 2

- تعرف على الأقطار والزاوية التي تشكلها مع بعضها البعض

A = (د ₁ ² /2) γ = سين (د ₁ ² /2) δ سين

-عندما يكون لديك الوحشي والمتوسط ​​والزاوية

A = mc.sen α = mc.sen β

نصف قطر الدائرة المقيدة

فقط شبه المنحرف متساوي الساقين لها محيط محدد. إذا كانت القاعدة الأكبر a والقطر c الجانبي والقطر d _{1 معروفين} ، فإن نصف قطر الدائرة التي تمر عبر الرؤوس الأربعة لشبه المنحرف هو:

R = a⋅c⋅d ₁ /4√

حيث p = (a + c + d ₁) / 2

أمثلة على استخدام شبه منحرف متساوي الساقين

يظهر شبه منحرف متساوي الساقين في مجال التصميم ، كما هو موضح في الشكل 2. وإليك بعض الأمثلة الإضافية:

في الهندسة المعمارية والبناء

عرف الإنكا القديم شبه المنحرف متساوي الساقين واستخدموه كعنصر بناء في هذه النافذة في كوزكو ، بيرو:

الشكل 5. نافذة شبه منحرفة من Coricancha ، كوزكو. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

وهنا يظهر شبه المنحرف مرة أخرى فيما يسمى بالصفيحة شبه المنحرفة ، وهي مادة تستخدم بكثرة في البناء:

الشكل 6. صفائح معدنية شبه منحرفة تحمي نوافذ المبنى مؤقتًا. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

في التصميم

لقد رأينا بالفعل أن شبه منحرف متساوي الساقين يظهر في الأشياء اليومية ، بما في ذلك الأطعمة مثل لوح الشوكولاتة هذا:

الشكل 7. لوح شوكولاتة يتخذ شكله شبه منحرف متساوي الساقين. المصدر: Pxfuel.

تمارين محلولة

- التمرين 1

شبه منحرف متساوي الساقين له قاعدة أكبر من 9 سم ، وقاعدته أقل من 3 سم ، وقطره 8 سم لكل منهما. احسب:

أ) الجانب

ب) الارتفاع

ج) المحيط

د) المنطقة

الشكل 8. مخطط للتمرين 1. المصدر: F. Zapata

الاجابه على

يتم رسم ارتفاع CP = h ، حيث تحدد سفح الارتفاع المقاطع:

PD = س = (أب) / 2 ص

AP = أ - س = أ - أ / 2 + ب / 2 = (أ + ب) / 2.

باستخدام نظرية فيثاغورس للمثلث الأيمن DPC:

ج ² = ح ² + (أ - ب) ² /4

وأيضًا إلى المثلث الأيمن APC:

د ² = ح ² + AP ² = ح ² + (أ + ب) ² /4

أخيرًا ، يتم طرح العضو بعضو ، المعادلة الثانية من الأولى ومبسطة:

د ² - ص ² = ¼ = ¼

د ² - ص ² = = أب

ج ² = د ² - أ ب ج ⇒ = √ (د ² - أ ب) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6.08 سم

الحل ب

ح ² = د ² - (أ + ب) ² /8 = 4 ² - (12 ² /2 ²) = 8 ² - 6 ² = 28

ع = 2 √7 = 5.29 سم

الحل ج

المحيط = أ + ب + 2 ج = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 سم

الحل د

المساحة = ح (أ + ب) / 2 = 5.29 (12) / 2 = 31.74 سم

- تمرين 2

يوجد شبه منحرف متساوي الساقين ، قاعدته الأكبر هي ضعف القاعدة الأصغر وقاعدتها الأصغر تساوي الارتفاع ، وهو 6 سم. قرر:

أ) طول الجانب

ب) المحيط

ج) المنطقة

د) الزوايا

الشكل 8. مخطط للتمرين 2. المصدر: F. Zapata

الاجابه على

البيانات: أ = 12 ، ب = أ / 2 = 6 ، ع = ب = 6

ننتقل على النحو التالي: نرسم الارتفاع h ونطبق نظرية فيثاغورس على مثلث الوتر «c» والساقين h و x:

ص ² = س ² + س ج ²

ثم عليك حساب قيمة الارتفاع من البيانات (h = b) وقيمة الساق x:

أ = ب + 2 س ⇒ س = (أب) / 2

استبدال التعبيرات السابقة لدينا:

ج ² = ب ² + (أ ب) ² /2 ²

الآن يتم تقديم القيم العددية ويتم تبسيطها:

ص ² = 62+ (12-6) 2/4

ص ² = 62 (1 +) = 62 (5/4)

الحصول على:

ج = 3√5 = 6.71 سم

الحل ب

المحيط P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61.42 سم

الحل ج

المساحة كدالة لارتفاع وطول القواعد هي:

أ = ح⋅ (أ + ب) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 سم ²

الحل د

يتم الحصول على الزاوية α التي الأشكال الجانبية ذات القاعدة الأكبر عن طريق حساب المثلثات:

تان (α) = ح / س = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63.44º

الزاوية الأخرى ، التي تشكل الجانب الجانبي مع القاعدة الأصغر هي β ، وهي مكملة لـ α:

β = 180º - α = 180º - 63.44º = 116.56º

المراجع

1. EA 2003. عناصر الهندسة: مع تمارين وهندسة البوصلة. جامعة ميديلين.
2. Campos، F. 2014. Mathematics 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed، K. 2007. اكتشف المضلعات. شركة بنشمارك التعليمية.
4. هندريك ، ف. 2013. المضلعات المعممة. بيرخاوسر.
5. IGER. الرياضيات الفصل الدراسي الأول تاكانا. IGER.
6. هندسة الابن. 2014. المضلعات. لولو برس ، إنك.
7. ميلر ، هيرين ، وهورنسبي. 2006. الرياضيات: التفكير والتطبيقات. العاشر. الإصدار. تعليم بيرسون.
8. Patiño، M. 2006. Mathematics 5. الافتتاحية Progreso.
9. ويكيبيديا. أرجوحة. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com