المثلث الحاد: الخصائص والأنواع - رياضيات - 2026

و مثلثات حادة هي تلك التي ثلاثة الزوايا الداخلية هي الزوايا الحادة؛ أي أن قياس كل زاوية من هذه الزوايا أقل من 90 درجة. بعدم وجود أي زاوية قائمة ، نجد أن نظرية فيثاغورس لا تنطبق على هذا الشكل الهندسي.

لذلك ، إذا أردنا الحصول على نوع من المعلومات حول أي من جوانبها أو زواياها ، فمن الضروري الاستفادة من النظريات الأخرى التي تتيح لنا الوصول إلى البيانات المذكورة. تلك التي يمكننا استخدامها هي نظرية الجيب ونظرية جيب التمام.

مميزات

من بين الخصائص التي يتمتع بها هذا الشكل الهندسي ، يمكننا إبراز تلك التي تعطى من خلال حقيقة كونه مثلثًا. من بين هؤلاء لدينا:

- المثلث هو مضلع له ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا.

- مجموع زواياه الداخلية الثلاث يساوي 180 درجة.

- يكون مجموع ضلعين أكبر من الثالث دائمًا.

كمثال ، لنلق نظرة على المثلث التالي ABC. بشكل عام ، نحدد جوانبها بحرف صغير وزواياها بحرف كبير ، بحيث يكون هناك جانب واحد وزاويته المقابلة لها نفس الحرف.

من الخصائص المقدمة بالفعل ، نعلم أن:

أ + ب + ج = 180 درجة

أ + ب> ج ، أ + ج> ب ، ب + ج> أ

السمة الرئيسية التي تميز هذا النوع من المثلثات عن الباقي هي أن زواياها الداخلية حادة ، كما ذكرنا سابقًا ؛ أي أن قياس كل زاوية من زواياه أقل من 90 درجة.

تشكل المثلثات الحادة ، جنبًا إلى جنب مع المثلثات المنفرجة (تلك التي يكون قياس أحد زواياها فيها أكبر من 90 درجة) ، جزءًا من مجموعة المثلثات المائلة. تتكون هذه المجموعة من مثلثات ليست زوايا قائمة.

نظرًا لأن المثلثات المائلة جزء منها ، يجب أن نكون قادرين على حل المشكلات التي تتضمن مثلثات حادة ، يجب علينا الاستفادة من نظرية الجيب ونظرية جيب التمام.

نظرية الجيب

تخبرنا نظرية الجيب أن نسبة أحد الضلع إلى جيب الزاوية المقابلة لها تساوي ضعف نصف قطر الدائرة المكونة من الرؤوس الثلاثة للمثلث المذكور. ذلك بالقول:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

نظرية جيب التمام

من ناحية أخرى ، تعطينا نظرية جيب التمام هذه المساواة الثلاث لأي مثلث ABC:

أ ² = ب ² + ص ² -2bc * كوس (أ)

ب ² = أ ² + ص ² -2ac * كوس (ب)

ص ² = أ ² + ب ^{2 -2} أب * كوس (ج)

تُعرف هذه النظريات أيضًا باسم قانون الجيب وقانون جيب التمام على التوالي.

من الخصائص الأخرى التي يمكن أن نعطيها للمثلثات الحادة أن اثنين منها متساويان إذا استوفيا أيًا من المعايير التالية:

- إذا كان لديهم نفس الجوانب الثلاثة.

- إذا كان لديهم جانب وزاويتان متساويتان لبعضهما البعض

- إذا كان لهما ضلعان متساويان وزاوية.

أنواع

يمكن تصنيف المثلثات الحادة حسب جوانبها. قد تكون هذه:

المثلثات الحادة متساوية الأضلاع

إنها المثلثات الحادة التي تتساوى فيها جميع جوانبها ، وبالتالي فإن جميع زواياها الداخلية لها نفس القيمة ، وهي A = B = C = 60 درجة.

كمثال ، لنأخذ المثلث التالي ، الذي قيمة أضلاعه أ وب وج تساوي 4.

مثلثات متساوية الساقين حادة

تتميز هذه المثلثات ، بالإضافة إلى زواياها الداخلية الحادة ، بخاصية وجود ضلعين متساويين والثالث ، الذي يعتبر بشكل عام قاعدة ، مختلف.

مثال على هذا النوع من المثلثات يمكن أن يكون قاعدته 3 وضلعانه الآخران لهما قيمة 5. باستخدام هذه القياسات ، سيكون له زوايا متقابلة للأضلاع المتساوية بقيمة 72.55 درجة والزاوية المقابلة لـ ستكون القاعدة 34.9 درجة.

Scalene مثلثات حادة

هذه هي المثلثات التي لها جوانب مختلفة اثنان في اثنين. لذلك ، فإن كل زواياه ، بالإضافة إلى كونها أقل من 90 درجة ، تختلف من اثنين إلى اثنين.

المثلث DEF (قياساته d = 4 و e = 5 و f = 6 وزواياه D = 41.41 ° و E = 55.79 ° و F = 82.8 °) هو مثال جيد للمثلث الحاد مختلف الأضلاع.

حل المثلثات الحادة

كما قلنا من قبل ، لحل المشكلات التي تتضمن مثلثات حادة ، من الضروري استخدام نظريتي الجيب وجيب التمام.

مثال 1

إذا كان المثلث ABC زواياه أ = 30 درجة ، ب = 70 درجة ، والضلع أ = 5 سم ، فإننا نريد معرفة قيمة الزاوية C والضلعين ب وج.

أول شيء نفعله هو استخدام حقيقة أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة ، من أجل الحصول على قيمة الزاوية C.

180 درجة = أ + ب + ج = 30 درجة + 70 درجة + ج = 100 درجة + ج

نقوم بمسح C ولدينا:

C = 180 درجة - 100 درجة = 80 درجة

بما أننا نعرف الزوايا الثلاث وضلعًا واحدًا ، يمكننا استخدام نظرية الجيب لتحديد قيمة الأضلاع المتبقية. حسب النظرية لدينا:

أ / الخطيئة (أ) = ب / الخطيئة (ب) و أ / الخطيئة (أ) = ج / (الخطيئة (ج)

نعزل ب من المعادلة ويتبقى لنا:

ب = (أ * الخطيئة (ب)) / الخطيئة (أ) ≈ (5 * 0.940) / (0.5) ≈ 9.4

الآن نحتاج فقط لحساب قيمة c. نسير بنفس الطريقة كما في الحالة السابقة:

ج = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0.984) / (0.5) ≈ 9.84

وهكذا نحصل على جميع بيانات المثلث. كما نرى ، يقع هذا المثلث في فئة المثلث الحاد المتدرج.

مثال 2

إذا كان المثلث DEF ضلعه d = 4 سم ، و e = 5 سم ، و f = 6 سم ، فنحن نريد معرفة قيمة زوايا المثلث المذكور.

في هذه الحالة ، سنستخدم قانون جيب التمام ، الذي يخبرنا بما يلي:

د ² = هـ ² + و ² - 2efcos (د)

من هذه المعادلة يمكننا حل cos (D) ، مما يعطينا نتيجة لذلك:

كوس (د) = ((4) ² - (5) ² - (6) ²) / (- 2 * 5 * 6) = 0.75

ومن ثم لدينا D≈ 41.41 °

باستخدام الآن نظرية السينوم لدينا المعادلة التالية:

د / (الخطيئة (د) = ه / (الخطيئة (هـ)

لحل الخطيئة (هـ) ، لدينا:

الخطيئة (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0.66) / 4 ≈ 0.827

ومن ثم لدينا E≈55.79 °

أخيرًا ، باستخدام أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180 درجة ، لدينا F≈82.8 درجة.

1. Landaverde ، ف. د. (1997). الهندسة (طبع ed.). التقدم.
2. ليك ، د. (2006). مثلثات (يتضح الصورة). هاينمان رينتري.
3. ليل جي جوان مانويل (2003). هندسة متريّة للطائرة. CODEPRE
4. رويز ، Á. ، و Barrantes ، H. (2006). الهندسة. تقنية CR.
5. سوليفان ، م. (1997). علم المثلثات والهندسة التحليلية. تعليم بيرسون.