المثلث المتساوي الأضلاع: الخصائص ، الخصائص ، الصيغ ، المساحة - رياضيات - 2026

على مثلث متساوي الأضلاع هو مضلع مع ثلاث جهات، حيث أنهم جميعا على قدم المساواة. أي أن لديهم نفس المقياس. لهذه الخاصية تم إعطاؤها اسم متساوي الأضلاع (جوانب متساوية).

تعتبر المثلثات المضلعات الأبسط في الهندسة لأنها تتكون من ثلاثة جوانب وثلاثة زوايا وثلاثة رؤوس. في حالة المثلث متساوي الأضلاع ، نظرًا لأن أضلاعه متساوية ، فهذا يعني أن زواياه الثلاث ستكون أيضًا.

مثال على مثلث متساوي الأضلاع

خصائص المثلثات متساوية الأضلاع

- جوانب متساوية

المثلثات المتساوية الأضلاع هي أشكال مسطحة ومغلقة ، تتكون من ثلاثة أجزاء مستقيمة. تصنف المثلثات حسب خصائصها بالنسبة إلى جوانبها وزواياها ؛ تم تصنيف متساوي الأضلاع باستخدام مقياس أضلاعه كمعامل ، حيث إنهما متماثلان تمامًا ، أي أنهما متطابقان.

المثلث متساوي الأضلاع هو حالة خاصة للمثلث متساوي الساقين لأن ضلعيه متطابقان. لذا فإن كل المثلثات متساوية الأضلاع هي أيضًا متساوية الساقين ، لكن لن تكون كل المثلثات متساوية الساقين متساوية الأضلاع.

بهذه الطريقة ، للمثلثات متساوية الأضلاع نفس خصائص المثلث متساوي الساقين.

يمكن أيضًا تصنيف المثلثات المتساوية الأضلاع من خلال اتساع زواياها الداخلية كمثلث حاد متساوي الأضلاع ، له ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا داخلية بنفس القياس. ستكون الزوايا حادة ، أي أقل من 90 ^أو.

- مكونات

تحتوي المثلثات بشكل عام على العديد من الخطوط والنقاط التي تتكون منها. يتم استخدامها لحساب المساحة والجوانب والزوايا والوسيط والمنصف والمنصف والارتفاع.

• الوسيط: هو الخط الذي يبدأ من منتصف أحد الجانبين ويصل إلى الرأس المقابل. يجتمع الوسطاء الثلاثة عند نقطة تسمى مركز barycenter أو centroid.
• المنصف: هو شعاع يقسم زاوية الرؤوس إلى زاويتين متساويتين في القياس ، ولهذا يُعرف باسم محور التناظر. يحتوي المثلث المتساوي الأضلاع على ثلاثة محاور للتماثل. في المثلث متساوي الأضلاع ، يتم رسم المنصف من رأس الزاوية إلى جانبها المقابل ، ويقطعها عند منتصفها. يجتمع هؤلاء في نقطة تسمى incenter.
• المنصف: هو قطعة متعامدة على جانب المثلث يكون أصله في منتصفه. هناك ثلاث وسطاء في المثلث ويلتقون عند نقطة تسمى الختان.
• الارتفاع: هو الخط الذي يمتد من الرأس إلى الضلع المقابل ، وهذا الخط أيضًا عمودي على هذا الجانب. كل المثلثات لها ثلاثة ارتفاعات تتطابق عند نقطة تسمى المركز العمودي.

في الرسم البياني التالي نرى مثلثًا متدرجًا حيث تم تفصيل بعض المكونات المذكورة

المنصف والوسيط والمنصف متطابقة

يقسم المنصف جانب المثلث إلى قسمين. في مثلثات متساوية الأضلاع ، سيتم تقسيم هذا الضلع إلى جزأين متساويين تمامًا ، أي ، سيتم تقسيم المثلث إلى مثلثين متطابقين قائم الزاوية.

وهكذا ، فإن المنصف المرسوم من أي زاوية لمثلث متساوي الأضلاع يتطابق مع الوسيط ومنصف الضلع المقابل لتلك الزاوية.

مثال:

يوضح الشكل التالي المثلث ABC بنقطة المنتصف D التي تقسم أحد أضلاعه إلى جزأين AD و BD.

من خلال رسم خط من النقطة D إلى الرأس المعاكس ، يتم الحصول على وسيط CD بالتعريف ، والذي يتعلق بالرأس C والجانب AB.

نظرًا لأن المقطع CD يقسم المثلث ABC إلى مثلثين متساويين CDB و CDA ، فهذا يعني أن حالة التطابق ستكون: الجانب والزاوية والجانب ، وبالتالي فإن CD سيكون أيضًا منصف BCD.

إن القطاع CD التآمر، وينقسم زاوية من قمة الرأس إلى قسمين زوايا متساوية من 30 ^أو زاوية من قمة الرأس A يزال قياس 60 ^أو وCD خط في زاوية 90 ^أو فيما يتعلق منتصف D.

يشكل القرص المضغوط المقطع زوايا لها نفس القياس للمثلثين ADC و BDC ، أي أنها مكملة بحيث يكون قياس كل منها:

متوسط ​​(ADB) + متوسط ​​(ADC) = 180 ^أو

2 _{* متوسط} (ADC) = 180 ^أو

متوسط ​​(ADC) = 180 ^أو ÷ 2

متوسط ​​(ADC) = 90 ^درجة.

إذن ، لدينا قطعة CD هي أيضًا منصف الضلع AB.

المنصف والارتفاع متزامنان

من خلال رسم المنصف من رأس زاوية واحدة إلى منتصف الضلع المقابل ، فإنه يقسم المثلث متساوي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين.

بحيث تتكون الزاوية 90 ^أو (المستقيمة). يشير هذا إلى أن هذا الخط المستقيم متعامد تمامًا على هذا الجانب ، وبحسب التعريف سيكون هذا الخط هو الارتفاع.

وبالتالي ، فإن منصف أي زاوية لمثلث متساوي الأضلاع يتطابق مع الارتفاع بالنسبة للجانب المقابل لتلك الزاوية.

Ortocenter ، barycenter ، incenter ، والختان المصادفة

نظرًا لأن الارتفاع والوسيط والمنصف والمنصف يتم تمثيله بواسطة نفس المقطع في نفس الوقت ، في مثلث متساوي الأضلاع ، سيتم العثور على نقاط التقاء هذه الأجزاء - المركز العمودي ، والمنصف ، والمنصف ، والمنصف - في نفس النقطة:

الخصائص

الخاصية الرئيسية للمثلثات متساوية الأضلاع هي أنها ستكون دائمًا مثلثات متساوية الساقين ، لأن متساوي الساقين يتكون من جانبين متطابقين ومتساوي الأضلاع بثلاثة.

بهذه الطريقة ، ورثت المثلثات متساوية الأضلاع جميع خصائص المثلث متساوي الساقين:

الزوايا الداخلية

مجموع الزوايا دائمًا يساوي 180 ^أو ، نظرًا لأن جميع الزوايا متطابقة ، فسيكون قياس كل منها 60 ^أو.

الزوايا الخارجية

مجموع الزوايا الخارجية 360 يساوي دائمًا ^أو بالتالي ستقاس كل زاوية خارجية 120 ^أو. هذا لأن الزوايا الداخلية والخارجية مكملة ، أي عند إضافتها ستكون دائمًا تساوي 180 ^درجة.

مجموع الأضلاع

يجب أن يكون مجموع قياسات الجانبين دائمًا أكبر من قياس الضلع الثالث ، أي أ + ب> ج ، حيث أ ، ب ، ج هي قياسات كل جانب.

جوانب متطابقة

للمثلثات المتساوية الأضلاع الثلاثة جميعها بنفس القياس أو الطول ؛ أي أنها متطابقة. لذلك ، في البند السابق لدينا أن أ = ب = ج.

الزوايا المتطابقة

تُعرف المثلثات المتساوية الأضلاع أيضًا بالمثلثات متساوية الزوايا ، لأن زواياها الداخلية الثلاثة متطابقة مع بعضها البعض. هذا لأن جميع جوانبها لها نفس القياس أيضًا.

كيف تحسب المحيط؟

يُحسب محيط المضلع بجمع الأضلاع. نظرًا لأن المثلث متساوي الأضلاع له جميع جوانبه بنفس القياس ، فيتم حساب محيطه بالصيغة التالية:

P = 3 _* جانب.

كيف تحسب الارتفاع؟

نظرًا لأن الارتفاع هو الخط العمودي على القاعدة ، فإنه يقسمه إلى جزأين متساويين بالامتداد إلى الرأس المقابل. وهكذا يتم تشكيل مثلثين متساويين على اليمين.

يمثل الارتفاع (h) الضلع المقابل (أ) ، ويمثل نصف الضلع AC للساق المجاورة (ب) ويمثل الضلع BC الوتر (ج).

باستخدام نظرية فيثاغورس ، يمكن تحديد قيمة الارتفاع:

3 _* لتر = 450 م.

P = 3 _* ل

P = 3 _* 71.6 م

موضع التنفيذ = 214.8 م.

المراجع

1. ألفارو ريندون ، أركنساس (2004). الرسم الفني: دفتر النشاط.
2. آرثر جودمان ، إل إتش (1996). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. تعليم بيرسون.
3. بالدور ، أ. (1941). الجبر. هافانا: ثقافة.
4. باربوسا ، جيه إل (2006). الهندسة الإقليدية المستوية. SBM. ريو دي جانيرو،.
5. كوكسفورد ، أ. (1971). الهندسة نهج التحول. الولايات المتحدة الأمريكية: الأخوان ليدلاو.
6. إقليدس ، ر. ب. (1886). عناصر الهندسة لإقليدس.
7. هيكتور تريجو ، شبيبة (2006). الهندسة وعلم المثلثات.
8. ليون فرنانديز ، جي إس (2007). الهندسة المتكاملة. معهد متروبوليتان التكنولوجي.
9. سوليفان ، ج. (2006). الجبر وعلم المثلثات. تعليم بيرسون.