مثلث متساوي الساقين: الخصائص والصيغة والمساحة والحساب - رياضيات - 2026

على مثلث متساوي الساقين هو مضلع مع ثلاث جهات، حيث اثنين منهم لديهم نفس قياس والجانب الثالث وهو مقياس مختلف. هذا الجانب الأخير يسمى القاعدة. بسبب هذه الخاصية ، تم إطلاق هذا الاسم ، والذي يعني في اليونانية "الساقين المتساوية"

تعتبر المثلثات المضلعات الأبسط في الهندسة لأنها تتكون من ثلاثة جوانب وثلاثة زوايا وثلاثة رؤوس. هي تلك التي تحتوي على أقل عدد من الأضلاع والزوايا بالنسبة إلى المضلعات الأخرى ، ولكن استخدامها واسع جدًا.

خصائص المثلثات متساوي الساقين

تم تصنيف المثلث متساوي الساقين باستخدام قياس أضلاعه كمعامل ، حيث أن ضلعين متطابقين (لهما نفس الطول).

بناءً على سعة الزوايا الداخلية ، يتم تصنيف المثلثات متساوي الساقين على النحو التالي:

• مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين: ضلعه متساويان. واحد زاوية مستقيمة (90 ^أو)، والبعض الآخر على نفسه (45 ^أو كل)
• مثلث متساوي الساقين منفرج: ضلعه متساويان. إحدى الزوايا منفرجة (> 90 ^أو).
• مثلث حاد متساوي الساقين: ضلعه متساويان. جميع الزوايا حادة (<90 ^أو) حيث يكون لكلاهما نفس المقياس.

مكونات

• الوسيط: هو الخط الذي يبدأ من منتصف أحد الجانبين ويصل إلى الرأس المقابل. يجتمع الوسطاء الثلاثة عند نقطة تسمى مركز barycenter أو centroid.
• المنصف: شعاع يقسم زاوية كل رأس إلى زاويتين متساويتين في القياس. لهذا السبب يعرف بمحور التناظر وهذا النوع من المثلثات له واحد فقط.
• المنصف: هو قطعة متعامدة مع ضلع المثلث ، ويكون أصله في منتصفه. هناك ثلاث وسطاء في المثلث ويلتقون عند نقطة تسمى الختان.
• الارتفاع: هو الخط الذي يمتد من الرأس إلى الضلع المقابل ، وهذا الخط أيضًا عمودي على هذا الجانب. كل المثلثات لها ثلاثة ارتفاعات تتزامن عند نقطة تسمى المركز العمودي.

الخصائص

يتم تعريف المثلثات متساوية الساقين أو تحديدها لأن لها العديد من الخصائص التي تمثلها ، والتي تنشأ من النظريات التي اقترحها علماء الرياضيات الكبار:

الزوايا الداخلية

مجموع الزوايا الداخلية دائمًا يساوي 180 ^درجة.

مجموع الأضلاع

يجب أن يكون مجموع قياسات الجانبين دائمًا أكبر من قياس الضلع الثالث ، أ + ب> ج.

جوانب متطابقة

المثلثات متساوية الساقين لها ضلعان بنفس القياس أو الطول ؛ أي أنها متطابقة والجانب الثالث مختلف عن هؤلاء.

الزوايا المتطابقة

تُعرف المثلثات المتساوية الساقين أيضًا باسم مثلثات متساوي الساقين ، لأن لها زاويتان لهما نفس المقياس (المتطابق). تقع هذه عند قاعدة المثلث ، مقابل الأضلاع التي لها نفس الطول.

نتيجة لذلك ، تم إنشاء النظرية التي تنص على أن:

"إذا كان للمثلث ضلعان متطابقان ، فإن الزوايا المقابلة لهذين الجانبين ستكون أيضًا متطابقة." لذلك ، إذا كان المثلث متساوي الساقين ، تكون زوايا قاعدته متطابقة.

مثال:

يوضح الشكل التالي مثلث ABC. من خلال رسم المنصف من رأس الزاوية B إلى القاعدة ، يتم تقسيم المثلث إلى مثلثين متساويين BDA و BDC:

بهذه الطريقة تم أيضًا تقسيم زاوية الرأس B إلى زاويتين متساويتين. المنصف الآن هو الضلع المشترك (BD) بين هذين المثلثين الجديدين ، بينما الضلعان AB و BC هما الضلعان المتطابقان. وبالتالي لدينا حالة تطابق الضلع والزاوية والجانب (LAL).

يوضح هذا أن زاويتي الرأسين A و C لهما نفس القياس ، ويمكن أيضًا توضيح أنه نظرًا لأن المثلثين BDA و BDC متطابقان ، فإن الجانبين AD و DC متطابقان أيضًا.

الطول والوسيط والمنصف والمنصف متطابقة

الخط المرسوم من الرأس المقابل للقاعدة إلى نقطة المنتصف لقاعدة المثلث متساوي الساقين ، هو في نفس الوقت الارتفاع والوسيط والمنصف ، وكذلك المنصف بالنسبة للزاوية المقابلة للقاعدة.

كل هذه الأجزاء تتطابق في جزء يمثلهم.

مثال:

يوضح الشكل التالي المثلث ABC بنقطة المنتصف M التي تقسم القاعدة إلى جزأين BM و CM.

من خلال رسم مقطع من النقطة M إلى الرأس المعاكس ، يتم الحصول على الوسيط AM ، بالتعريف ، والذي يتعلق بالرأس A والجانب BC.

نظرًا لأن المقطع AM يقسم المثلث ABC إلى مثلثين متساويين AMB و AMC ، فهذا يعني أن حالة تطابق الضلع والزاوية والجانب ، وبالتالي فإن AM ستكون أيضًا منصف BÂC.

لذلك ، سيكون المنصف دائمًا مساويًا للوسيط والعكس صحيح.

تشكل القطعة AM زوايا لها نفس القياس للمثلثات AMB و AMC ؛ أي أنها تكميلية بحيث يكون قياس كل منها:

متوسط ​​(AMB) + متوسط ​​(AMC) = 180 ^أو

2 _{* متوسط} (AMC) = 180 ^أو

متوسط ​​(AMC) = 180 ^أو ÷ 2

متوسط ​​(AMC) = 90 ^أو

من المعروف أن الزوايا المكونة من المقطع AM بالنسبة إلى قاعدة المثلث صحيحة ، مما يشير إلى أن هذا الجزء متعامد تمامًا على القاعدة.

لذلك فهو يمثل الارتفاع والمنصف ، مع العلم أن M هي نقطة المنتصف.

لذلك فإن الخط AM:

• يمثل في ذروة قبل الميلاد.
• متوسط ​​الحجم.
• وهو موجود داخل منصف قبل الميلاد.
• إنه منصف زاوية الرأس Â

ارتفاعات نسبية

الارتفاعات المتعلقة بالأضلاع المتساوية لها نفس القياس أيضًا.

نظرًا لأن المثلث متساوي الساقين له ضلعان متساويان ، فسيكون ارتفاع كل منهما متساويًا أيضًا.

Ortocenter ، barycenter ، incenter ، والختان المصادفة

نظرًا لأن الارتفاع والوسيط والمنصف والمنصف بالنسبة للقاعدة ، يتم تمثيلها في نفس الوقت بواسطة نفس المقطع ، سيكون مركز تقويم العظام ، ومركز الباري سنتر ، والختان نقاطًا متداخلة ، أي سيتم العثور عليها على نفس الخط:

كيف تحسب المحيط؟

يُحسب محيط المضلع بجمع الأضلاع.

نظرًا لأن المثلث متساوي الساقين له ضلعان بنفس القياس في هذه الحالة ، يتم حساب محيطه بالصيغة التالية:

P = 2 _* (الجانب أ) + (الجانب ب).

كيف تحسب الارتفاع؟

الارتفاع هو الخط العمودي على القاعدة ، فهو يقسم المثلث إلى جزأين متساويين حيث يمتد إلى الرأس المقابل.

يمثل الارتفاع الضلع المقابل (أ) ، ويمثل منتصف القاعدة (ب / 2) الضلع المجاورة ويمثل الضلع "أ" الوتر.

باستخدام نظرية فيثاغورس ، يمكن تحديد قيمة الارتفاع:

أ ² + ب ² = ص ²

أين:

أ ² = الارتفاع (ح).

ب ² = ب / 2.

ج ² = الجانب أ.

بالتعويض عن هذه القيم في نظرية فيثاغورس ، وحل الارتفاع ، لدينا:

ح ² + (ب / 2) ² = أ ²

ح ² + ب ² / = 4 من ²

ح ² = ل ² - ب ² /4

ح = √ (أ ² - ب ² /4).

إذا كانت الزاوية المكونة من الأضلاع المتطابقة معروفة ، فيمكن حساب الارتفاع بالصيغة التالية:

كيف تحسب المساحة؟

يتم دائمًا حساب مساحة المثلثات بنفس الصيغة ، بضرب القاعدة في الارتفاع والقسمة على اثنين:

هناك حالات يُعرف فيها فقط قياسات ضلعي المثلث والزاوية المتكونة بينهما. في هذه الحالة ، لتحديد المنطقة ، من الضروري تطبيق النسب المثلثية:

كيف تحسب قاعدة المثلث؟

نظرًا لأن المثلث متساوي الساقين له ضلعان متساويان ، لتحديد قيمة قاعدته ، عليك أن تعرف على الأقل قياس الارتفاع أو إحدى زواياه.

معرفة الارتفاع ، يتم استخدام نظرية فيثاغورس:

أ ² + ب ² = ص ²

أين:

أ ² = الارتفاع (ح).

ج ² = الجانب أ.

ب ² = ب / 2 ، غير معروف.

نعزل b ² من الصيغة ولدينا:

ب ² = أ ² - ص ²

ب = √ أ ² - ج ²

نظرًا لأن هذه القيمة تقابل نصف القاعدة ، يجب ضربها في اثنين للحصول على القياس الكامل لقاعدة المثلث متساوي الساقين:

ب = 2 _* (√ أ ² - ج ²)

في حالة معرفة قيمة الأضلاع المتساوية والزاوية بينهما فقط ، يتم تطبيق علم المثلثات ، برسم خط من الرأس إلى القاعدة يقسم المثلث متساوي الساقين إلى مثلثين قائم الزاوية.

بهذه الطريقة يتم حساب نصف القاعدة بـ:

من الممكن أيضًا معرفة قيمة ارتفاع وزاوية الرأس المقابل للقاعدة. في هذه الحالة ، من خلال علم المثلثات ، يمكن تحديد القاعدة:

تمارين

التمرين الأول

أوجد مساحة المثلث المتساوي الساقين ABC ، ​​مع العلم أن ضلعين من ضلعه 10 سم والضلع الثالث 12 سم.

المحلول

لإيجاد مساحة المثلث ، من الضروري حساب الارتفاع باستخدام صيغة المساحة المرتبطة بنظرية فيثاغورس ، حيث إن قيمة الزاوية المتكونة بين الأضلاع المتساوية غير معروفة.

لدينا البيانات التالية لمثلث متساوي الساقين:

• أضلاع متساوية (أ) = 10 سم.
• القاعدة (ب) = 12 سم.

يتم استبدال القيم في الصيغة:

التمرين الثاني

طول ضلعين متساويين لمثلث متساوي الساقين هو 42 سم ، اتحاد هذين الضلعين بزاوية 130 ^أو. أوجد قيمة الضلع الثالث ، ومساحة ذلك المثلث ، والمحيط.

المحلول

في هذه الحالة ، تُعرف قياسات الأضلاع والزاوية بينهما.

لمعرفة قيمة الضلع المفقود ، أي قاعدة ذلك المثلث ، يتم رسم خط عمودي عليه ، ويقسم الزاوية إلى جزأين متساويين ، واحد لكل مثلث قائم الزاوية يتم تكوينه.

• أضلاع متساوية (أ) = 42 سم.
• الزاوية (Ɵ) = 130 ^درجة

الآن من خلال علم المثلثات ، يتم حساب قيمة نصف القاعدة ، والتي تقابل نصف طول الوتر:

لحساب المساحة ، من الضروري معرفة ارتفاع هذا المثلث ، والذي يمكن حسابه عن طريق حساب المثلثات أو نظرية فيثاغورس ، بعد أن تم تحديد قيمة القاعدة بالفعل.

عن طريق علم المثلثات سيكون:

يتم حساب المحيط:

P = 2 _* (الجانب أ) + (الجانب ب).

P = 2 _* (42 سم) + (76 سم)

P = 84 سم + 76 سم

P = 160 سم.

التمرين الثالث

احسب الزوايا الداخلية للمثلث متساوي الساقين ، مع العلم أن زاوية القاعدة هي Â = 55 ^أو

المحلول

لإيجاد الزاويتين المفقودتين (Ê و) ، من الضروري تذكر خاصيتين للمثلثين:

• سيكون مجموع الزوايا الداخلية لكل مثلث دائمًا = 180 ^أو:

 + Ê + Ô = 180 ^أو

• في مثلث متساوي الساقين ، تكون زوايا القاعدة دائمًا متطابقة ، أي أن لها نفس القياس ، وبالتالي:

 = Ô

Ê = 55 ^أو

لتحديد قيمة الزاوية Ê ، نعوض بقيم الزوايا الأخرى في القاعدة الأولى ونحل قيمة Ê:

55 ^أو + 55 ^أو + Ô = 180 ^أو

110 ^أو + Ô = 180 ^أو

Ô = 180 ^درجة - 110 ^درجة

Ô = 70 ^درجة.

المراجع

1. ألفاريز ، إي (2003). عناصر الهندسة: مع تمارين وهندسة عديدة للبوصلة. جامعة ميديلين.
2. ألفارو ريندون ، أركنساس (2004). الرسم الفني: دفتر النشاط.
3. أنجل ، أركنساس (2007). الجبر الابتدائي. تعليم بيرسون.
4. آرثر جودمان ، إل إتش (1996). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. تعليم بيرسون.
5. بالدور ، أ. (1941). الجبر. هافانا: ثقافة.
6. خوسيه خيمينيز ، إل جيه (2006). الرياضيات 2.
7. توما ، ج. (1998). كتيب الرياضيات الهندسية. ولفرام ماثوورلد.