ثلاثي الشكل X ^ 2 + BX + C (مع أمثلة) - رياضيات - 2026

قبل تعلم حل ثلاثي الحدود للصيغة x ^ 2 + bx + c ، وحتى قبل معرفة مفهوم ثلاثي الحدود ، من المهم معرفة مفهومين أساسيين ؛ وهي مفاهيم أحادية ومتعددة الحدود. المونومال هو تعبير من النوع أ * س ^ن ، حيث أ عدد نسبي ، ن عدد طبيعي وس س متغير.

كثير الحدود هو مجموعة خطية من المونومرات على شكل _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ ، حيث كل a _i ، مع i = 0 ،… ، n ، عدد نسبي ، n عدد طبيعي و a_n ليست صفرية. في هذه الحالة ، يُقال أن درجة كثير الحدود هي n.

تُعرف كثيرة الحدود المكونة من مجموع فترتين فقط (اثنين من الأحاديات) بدرجات مختلفة باسم ذات الحدين.

ثلاثيات

تُعرف كثيرة الحدود المكونة من مجموع ثلاثة مصطلحات فقط (ثلاثة أحادية) من درجات مختلفة باسم ثلاثي الحدود. فيما يلي أمثلة على ثلاثيات:

• س ³ + س ² + 5 س
• 2x ⁴ -x ³ +5
• × ² + ⁶ س + 3

هناك عدة أنواع من القيم الثلاثية. من بين هؤلاء ، يبرز ثلاثي الحدود المربع الكامل.

ثلاثي الحدود المربع المثالي

ثلاثي الحدود المربع الكامل هو نتيجة تربيع ذات الحدين. فمثلا:

• (3X-2) ² = 9X ² -12x + 4
• (2 س ³ + ص) ² = 4x ⁶ + 4x ³ ص + ص ²
• (4X ² -2y ⁴) ² = 16X ⁴ -16x ² ص ⁴ + 4Y ⁸
• 1 / 16X ² ص ⁸ -1 / 2xy ⁴ ض + ض ² = (1 / 4xy ⁴) ² -2 (1 / 4xy ⁴) ض ض + ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

خصائص الصف الثاني ثلاثي الحدود

مربع ممتاز

بشكل عام ، ثلاثي الحدود على شكل ax ² + bx + c هو مربع كامل إذا كان المميز فيه يساوي صفرًا ؛ أي إذا كان b ² -4ac = 0 ، لأنه في هذه الحالة سيكون له جذر واحد ويمكن التعبير عنه بالصيغة a (xd) ² = (√a (xd)) ² ، حيث d هو الجذر المذكور بالفعل.

جذر كثير الحدود هو رقم يصبح فيه كثير الحدود صفرًا ؛ بعبارة أخرى ، رقم ينتج عنه صفر عند استبداله بـ x في تعبير متعدد الحدود.

حل الصيغة

الصيغة العامة لحساب جذور كثير الحدود من الدرجة الثانية للصيغة ax ² + bx + c هي صيغة المذيب ، والتي تنص على أن هذه الجذور مُعطاة بواسطة (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2 أ ، حيث يُعرف ب ² -4ac بالمميز ويُشار إليه عادةً بالرمز ∆. من هذه الصيغة يتبع ذلك الفأس ² + bx + c:

- جذرين حقيقيين مختلفين إذا كانت> 0.

- جذر حقيقي واحد إذا كانت = 0.

- ليس له جذر حقيقي إذا كانت <0.

في ما يلي ، سيتم النظر فقط في ثلاثيات الشكل x ² + bx + c ، حيث من الواضح أن c يجب أن يكون رقمًا بخلاف الصفر (وإلا فسيكون ذو الحدين). تتمتع هذه الأنواع من ثلاثية الحدود بمزايا معينة عند التخصيم والتعامل معها.

تفسير هندسي

هندسيا، وثلاثي الحدود س ² + ب س + ج هو القطع المكافئ الذي يفتح لأعلى ولديه الرأس عند نقطة (-b / 2، -B ² / + 4 ج) من المستوى الديكارتي الذي س ² + ب س + ج = (س + ب / 2) ² -b ² / + 4 ج.

يقطع هذا القطع المكافئ المحور Y عند النقطة (0 ، ج) والمحور X عند النقاط (د ₁ ، 0) و (د ₂ ، 0) ؛ ثم d ₁ و d ₂ هما جذور ثلاثي الحدود. يمكن أن يحدث أن يكون للثلاثية جذر d واحد ، وفي هذه الحالة يكون القطع الوحيد مع المحور X هو (d ، 0).

يمكن أن يحدث أيضًا أن لا يحتوي ثلاثي الحدود على أي جذر حقيقي ، وفي هذه الحالة لن يتقاطع مع المحور X في أي نقطة.

على سبيل المثال ، x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² هو القطع المكافئ برأس عند (-3،0) ، والذي يتقاطع مع المحور Y عند (0 ، 9) وإلى المحور X عند (-3،0).

العوملة الثلاثية

من الأدوات المفيدة جدًا عند العمل مع كثيرات الحدود التحليل ، والذي يتكون من التعبير عن كثير الحدود كمنتج للعوامل. بشكل عام ، إذا أخذنا في الاعتبار ثلاثي الحدود بالصيغة x ² + bx + c ، إذا كان له جذران مختلفان d ₁ و d ₂ ، فيمكن تحليله إلى عوامل (xd ₁) (xd ₂).

إذا كان له جذر واحد d ، فيمكن تحليله إلى عوامل (xd) (xd) = (xd) ² ، وإذا لم يكن له جذر حقيقي ، فإنه يظل كما هو ؛ في هذه الحالة لا يعترف بالعامل كمنتج لعوامل أخرى غير نفسه.

هذا يعني أنه بمعرفة جذور ثلاثي الحدود في الشكل المحدد بالفعل ، يمكن التعبير عن عواملها بسهولة ، وكما ذكرنا سابقًا ، يمكن دائمًا تحديد هذه الجذور باستخدام المذيب.

ومع ذلك ، هناك قدر كبير من هذا النوع من ثلاثية الحدود التي يمكن تحليلها إلى عوامل دون معرفة جذورها أولاً ، مما يبسط العمل.

يمكن تحديد الجذور مباشرة من العوامل دون استخدام صيغة المذيب ؛ هذه هي كثيرات الحدود بالصيغة x ² + (a + b) x + ab. في هذه الحالة لدينا:

س ² + (أ + ب) س + أب = س ² + فأس + ب س + أب = س (س + أ) + ب (س + أ) = (س + ب) (س + أ).

من هذا يتضح بسهولة أن الجذور هي - أ و - ب.

بعبارة أخرى ، بالنظر إلى ثلاثي الحدود x ² + bx + c ، إذا كان هناك رقمان u و v مثل أن c = uv و b = u + v ، إذن x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

أي ، نظرًا لثلاثية الحدود x ² + bx + c ، يتم التحقق أولاً إذا كان هناك رقمان مضروبان يعطيان المصطلح المستقل (c) ويضافان (أو يُطرحان ، اعتمادًا على الحالة) ، يعطيان المصطلح المصاحب لـ x (ب).

لا يمكن تطبيق هذه الطريقة مع كل القيم الثلاثية بهذه الطريقة ؛ في الحالات التي لا يكون فيها ذلك ممكنًا ، يتم استخدام الدقة ويتم تطبيق ما سبق ذكره.

أمثلة

مثال 1

لتحليل ثلاثي الحدود التالي x ² + 3x + 2 ، تابع كما يلي:

يجب أن تجد رقمين بحيث تكون النتيجة 3 عند جمعهما ، وعند ضربهما تكون النتيجة 2.

بعد إجراء الاستقصاء ، يمكن استنتاج أن الأرقام التي تم البحث عنها هي: 2 و 1. لذلك ، x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

مثال 2

إلى عامل وثلاثي الحدود س ² 6 -5x +، ونحن نتطلع لرقمين المبلغ الذي هو -5 ومنتجاتها هو 6. الأرقام التي تلبي هذه الشروط هما -3 و -2. لذلك ، فإن تحليل ثلاثي الحدود المعطى هو x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

المراجع

1. فوينتيس ، أ. (2016). الرياضيات الأساسية. مقدمة في حساب التفاضل والتكامل. Lulu.com.
2. جارو ، م. (2014). الرياضيات: المعادلات التربيعية: كيف نحل المعادلة التربيعية. ماريلو جارو.
3. هايسلر ، إي أف ، وبول ، آر إس (2003). الرياضيات للإدارة والاقتصاد. تعليم بيرسون.
4. Jiménez، J.، Rofríguez، M.، & Estrada، R. (2005). الرياضيات 1 سبتمبر. عتبة.
5. بريسيادو ، كونيتيكت (2005). دورة الرياضيات الثالثة. المقدمة الافتتاحية.
6. روك ، نيو مكسيكو (2006). أنا الجبر سهل! سهل جدا. صحافة فريق روك.
7. سوليفان ، ج. (2006). الجبر وعلم المثلثات. تعليم بيرسون.