العامل المشترك من خلال تجميع المصطلحات: أمثلة ، تمارين - رياضيات - 2025

و العامل المشترك من خلال تجميع من حيث هو إجراء جبري الذي يسمح لك لكتابة بعض العبارات الجبرية في شكل من العوامل. لتحقيق هذا الهدف ، يجب عليك أولاً تجميع التعبير بشكل صحيح وملاحظة أن كل مجموعة يتم تشكيلها على هذا النحو لديها ، في الواقع ، عامل مشترك.

يتطلب تطبيق التقنية بشكل صحيح بعض الممارسة ، لكنك تتقنها في وقت قصير. لنلق نظرة أولاً على مثال توضيحي موصوف خطوة بخطوة. ثم يمكن للقارئ تطبيق ما تعلموه في كل من التمارين التي ستظهر لاحقًا.

الشكل 1. أخذ عامل مشترك من خلال تجميع المصطلحات يجعل العمل باستخدام التعبيرات الجبرية أسهل. المصدر: Pixabay.

لنفترض على سبيل المثال أنك بحاجة إلى تحليل التعبير التالي:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

يتكون هذا التعبير الجبري من 4 أحاديات أو مصطلحات ، مفصولة بعلامات + و - ، وهي:

2x ² ، 2xy ، -3zx ، -3zy

إذا نظرنا عن كثب ، فإن x أمر مشترك بين الثلاثة الأولى ، ولكن ليس الأخير ، بينما y هي مشتركة مع الثاني والرابع ، و z مشترك مع الثالث والرابع.

لذلك ، من حيث المبدأ ، لا يوجد عامل مشترك للمصطلحات الأربعة في نفس الوقت ، ولكن إذا تم تجميعها كما هو موضح في القسم التالي ، فمن الممكن أن يظهر واحد يساعد في كتابة التعبير على أنه حاصل ضرب اثنين أو أكثر العوامل.

أمثلة

عامل التعبير: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

الخطوة 1: المجموعة

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

الخطوة 2: ابحث عن العامل المشترك لكل مجموعة

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2 س (س + ص) - 3 ع (س + ص)

أنا مهم: الإشارة السلبية هي أيضًا عامل مشترك يجب أخذه في الاعتبار.

لاحظ الآن أن الأقواس (x + y) تتكرر في المصطلحين اللذين تم الحصول عليهما بالتجميع. هذا هو العامل المشترك الذي تم السعي إليه.

الخطوة 3: حلل التعبير بالكامل إلى عوامل

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

بالنتيجة السابقة ، تم الوصول إلى هدف التحليل ، وهو ليس سوى تحويل تعبير جبري قائم على عمليات الجمع والطرح للمصطلحات ، إلى حاصل ضرب عاملين أو أكثر ، في مثالنا ، من: (x + ص) و (2x - 3z).

أسئلة مهمة حول العامل المشترك بالتجميع

السؤال الأول: كيف تعرف أن النتيجة صحيحة؟

الإجابة: يتم تطبيق خاصية التوزيع على النتيجة التي تم الحصول عليها وبعد التقليل والتبسيط ، يجب أن يتطابق التعبير الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة مع الأصل ، وإذا لم يكن الأمر كذلك ، فهناك خطأ.

في المثال السابق ، نعمل بشكل عكسي مع النتيجة ، للتحقق من صحتها:

(س + ص) (2 س - 3 ع) = ² س ² -3 ز س + ² ص ص - 3 زى

نظرًا لأن ترتيب الإضافات لا يغير المجموع ، بعد تطبيق الخاصية التوزيعية ، يتم إرجاع جميع المصطلحات الأصلية ، بما في ذلك العلامات ، وبالتالي فإن العوامل صحيحة.

السؤال الثاني: هل يمكن تجميعه بطريقة أخرى؟

الجواب: هناك تعبيرات جبرية تسمح بأكثر من شكل من أشكال التجميع وأخرى لا تسمح بذلك. في المثال المحدد ، يمكن للقارئ تجربة الاحتمالات الأخرى بمفرده ، على سبيل المثال تجميع مثل هذا:

2X ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2X ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

ويمكنك التحقق من أن النتيجة هي نفسها التي تم الحصول عليها هنا. العثور على التجميع الأمثل هو مسألة ممارسة.

السؤال 3: لماذا من الضروري أخذ عامل مشترك من تعبير جبري؟

الإجابة: لأن هناك تطبيقات يسهّل فيها التعبير المحلّل إلى عوامل. على سبيل المثال ، افترض أنك تريد أن تجعل 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy مساوية لـ 0. ما هي الاحتمالات؟

للإجابة على هذا السؤال ، تعد النسخة المحللة أكثر فائدة من التطوير الأصلي من حيث المصطلحات. يقال على النحو التالي:

(س + ص) (2 س - 3 ع) = 0

أحد الاحتمالات أن يكون التعبير يساوي 0 هو أن x = -y ، بغض النظر عن قيمة z. والآخر هو أن x = (3/2) z ، بغض النظر عن قيمة y.

تمارين

- التمرين 1

استخرج العامل المشترك للتعبير التالي عن طريق تجميع المصطلحات:

الفأس + ay + bx +

المحلول

يتم تجميع أول عنصرين ، مع العامل المشترك "أ" والعامل الأخيران مع العامل المشترك "ب":

الفأس + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

بمجرد القيام بذلك ، يتم الكشف عن عامل مشترك جديد ، وهو (x + y) ، بحيث:

الفأس + ay + bx + by = أ (س + ص) + ب (س + ص) = (س + ص) (أ + ب)

طريقة أخرى للتجمع

يدعم هذا التعبير طريقة أخرى للتجميع. لنرى ماذا سيحدث إذا أعيد ترتيب المصطلحات وتم تكوين مجموعة من تلك التي تحتوي على x وأخرى تحتوي على y:

الفأس + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

بهذه الطريقة يكون العامل المشترك الجديد (أ + ب):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

مما يؤدي إلى نفس النتيجة من المجموعة الأولى التي تم اختبارها.

- تمرين 2

يجب كتابة التعبير الجبري التالي على أنه نتاج عاملين:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

المحلول

يحتوي هذا التعبير على 6 حدود. لنجرب التجميع الأول والرابع والثاني والثالث وأخيراً الخامس والسادس:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab-3b ²)

الآن يتم تحليل كل قوس:

= (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab -3b ²) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

للوهلة الأولى ، يبدو أن الموقف كان معقدًا ، لكن لا ينبغي إحباط القارئ ، لأننا سنعيد كتابة المصطلح الأخير:

أ ² (3 أ - 1) + 3 أب (3 ب –أ) + ب (أ -3 ب) = أ ² (3 أ - 1) + 3 أب (3 ب-أ) - ب (3 ب-أ)

يوجد الآن عامل مشترك للحدين الأخيرين ، وهو (3b-a) ، لذا يمكن تحليلهما إلى عوامل. من المهم جدًا ألا تغيب عن بالنا المصطلح الأول أ ² (3 أ - 1) ، والذي يجب أن يستمر في مرافقة كل شيء كإضافة ، حتى إذا كنت لا تعمل معه:

أ ² (3 أ - 1) + 3 أب (3 ب-أ) - ب (3 ب-أ) = أ ² (3 أ - 1) + (3 ب-أ) (3 أب-ب)

تم تقليل التعبير إلى فترتين وتم اكتشاف عامل مشترك جديد في المصطلح الأخير ، وهو "b". الآن يبقى:

أ ² (3 أ - 1) + (3 ب-أ) (3 أب-ب) = أ ² (3 أ - 1) + ب (3 ب-أ) (3 أ-1)

العامل المشترك التالي الذي سيظهر هو 3 أ - 1:

أ ² (3 أ - 1) + ب (3 ب-أ) (3 أ -1) = (3 أ - 1)

أو إذا كنت تفضل ذلك بدون أقواس:

(3 أ - 1) = (3 أ - 1) (أ ^{2 –} أب + 3 ب ²)

هل يستطيع القارئ أن يجد طريقة أخرى للتجميع تؤدي إلى نفس النتيجة؟

الشكل 2. تمارين التخصيم المقترحة. المصدر: F. Zapata.

المراجع

1. بالدور ، أ. 1974 ، الجبر الابتدائي. فنزويلا الثقافية SA
2. Jiménez، R. 2008. الجبر. برنتيس هول.
3. حالات التخصيم الرئيسية. تم الاسترجاع من: julioprofe.net.
4. UNAM. الرياضيات الأساسية: التحليل عن طريق تجميع المصطلحات. كلية المحاسبة والإدارة.
5. زيل ، د. 1984. الجبر وعلم المثلثات. ماكجرو هيل.