وحدة يونغ: حساب التفاضل والتكامل ، والتطبيقات ، والأمثلة ، والتمارين - جسدي - بدني - 2025

في معامل يونغ أو مرونة معامل هو ثابت المتعلقة الشد أو الضغط مع زيادة أو نقصان منها في طول وجود الكائن تحت هذه القوات.

لا يمكن للقوى الخارجية المطبقة على الأشياء أن تغير حالة حركتها فحسب ، بل يمكنها أيضًا تغيير شكلها أو حتى كسرها أو كسرها.

الشكل 1. حركات القط مليئة بالمرونة والنعمة. المصدر: Pixabay.

يستخدم معامل يونج لدراسة التغيرات التي تحدث في مادة ما عند تطبيق قوة شد أو ضغط خارجيًا. إنه مفيد جدًا في مواضيع مثل الهندسة أو الهندسة المعمارية.

يدين النموذج باسم العالم البريطاني توماس يونغ (1773-1829) ، الذي أجرى دراسات على المواد واقترح مقياسًا لصلابة المواد المختلفة.

ما هو نموذج يونغ؟

نموذج يونغ هو مقياس للصلابة. في المواد ذات الصلابة المنخفضة (الأحمر) يكون هناك المزيد من التشوه تحت ضغط الامتداد أو الضغط. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

كم يمكن أن يتشوه الشيء؟ هذا شيء يريد المهندسون معرفته غالبًا. ستعتمد الإجابة على خصائص المادة والأبعاد التي تحتوي عليها.

على سبيل المثال ، يمكنك مقارنة قضيبين مصنوعين من الألومنيوم بأبعاد مختلفة. لكل منها مساحة ومقطع عرضي مختلفان ، وكلاهما يخضع لنفس قوة الشد.

سيكون السلوك المتوقع كما يلي:

- كلما زاد سمك (المقطع العرضي) للشريط ، قل التمدد.

- كلما زاد الطول الأولي ، زاد الامتداد النهائي.

هذا منطقي ، لأنه بعد كل شيء ، تُظهر التجربة أن محاولة تشويه الشريط المطاطي ليست هي نفسها محاولة القيام بذلك باستخدام قضيب فولاذي.

معلمة تسمى معامل مرونة المادة هي مؤشر على استجابتها المرنة.

كيف يتم حسابها؟

كطبيب ، أراد يونغ معرفة دور مرونة الشرايين في الأداء الجيد للدورة الدموية. من خبراته توصل إلى العلاقة التجريبية التالية:

من الممكن تمثيل سلوك مادة ما بيانياً تحت الضغط ، كما هو موضح في الشكل التالي.

الشكل 2. رسم بياني للتوتر مقابل الإجهاد للمادة. المصدر: عصامي.

من الأصل إلى النقطة أ

في القسم الأول ، الذي ينتقل من نقطة الأصل إلى النقطة أ ، يمثل الرسم البياني خطًا مستقيمًا. قانون هوك ساري المفعول هناك:

F = kx

حيث F هو مقدار القوة التي تعيد المادة إلى حالتها الأصلية ، x هي التشوه الذي تعاني منه و k ثابت يعتمد على الكائن المعرض للإجهاد.

التشوهات المدروسة هنا صغيرة والسلوك مرن تمامًا.

من الالف الى الياء

من أ إلى ب ، تتصرف المادة أيضًا بشكل مرن ، لكن العلاقة بين الإجهاد والانفعال لم تعد خطية.

من ب إلى ج

بين النقطتين B و C ، تخضع المادة لتشوه دائم ، حيث لا تستطيع العودة إلى حالتها الأصلية.

من C

إذا استمرت المادة في التمدد من النقطة C ، فإنها تنكسر في النهاية.

رياضيا ، يمكن تلخيص ملاحظات يونغ على النحو التالي:

إجهاد ∝ إجهاد

حيث يكون ثابت التناسب هو بالتحديد معامل مرونة المادة:

الإجهاد = معامل المرونة x التشوه

هناك طرق عديدة لتشويه المواد. الأنواع الثلاثة الأكثر شيوعًا من الإجهاد التي يتعرض لها الجسم هي:

- الشد أو التمدد.

- ضغط.

- قص أو قص.

أحد الضغوط التي تتعرض لها المواد عادة ، على سبيل المثال في الإنشاءات المدنية أو أجزاء السيارات ، هو الجر.

الصيغ

عندما يتم شد أو شد جسم بطول L ، فإنه يتعرض لجر يؤدي إلى اختلاف في طوله. يتم تمثيل رسم تخطيطي لهذا الموقف في الشكل 3.

هذا يتطلب أن يتم تطبيق قوة مقدارها F لكل وحدة مساحة على نهاياتها ، لتسبب التمدد ، بحيث يصبح طولها الجديد L + DL.

سيكون الجهد المبذول لتشويه الكائن هو هذه القوة فقط لكل وحدة مساحة ، في حين أن الإجهاد الذي تم اختباره هو ΔL / L.

الشكل 3. كائن يتعرض للجر أو التمدد ، يتعرض للاستطالة. المصدر: عصامي.

تدل على معامل يونج كـ Y ، ووفقًا لما سبق:

تكمن الإجابة في حقيقة أن السلالة تشير إلى الإجهاد النسبي فيما يتعلق بالطول الأصلي. إنه ليس مثل شريط 1 متر يمتد أو يتقلص بمقدار 1 سم ، حيث أن الهيكل بطول 100 متر مشوه بالتساوي بمقدار 1 سم.

من أجل الأداء السليم للأجزاء والهياكل ، هناك تسامح فيما يتعلق بالتشوهات النسبية المسموح بها.

معادلة حساب التشوه

إذا تم تحليل المعادلة أعلاه على النحو التالي:

- كلما زادت مساحة المقطع العرضي ، قل التشوه.

- كلما زاد الطول ، زاد التشوه.

- كلما ارتفع معامل يونج ، انخفض التشوه.

تتوافق وحدات الضغط مع نيوتن / متر مربع (N / m ²). وهي أيضًا وحدات الضغط التي تحمل اسم باسكال في النظام الدولي. من ناحية أخرى ، فإن الإجهاد ΔL / L ليس له أبعاد لأنه الحاصل بين طولين.

وحدات نظام اللغة الإنجليزية هي lb / in ² وتستخدم أيضًا بشكل متكرر. عامل التحويل للانتقال من واحد إلى الآخر هو: 14.7 رطل / في ² = 1.01325 × 10 ⁵ باسكال

هذا يؤدي إلى أن معامل يونج يحتوي أيضًا على وحدات ضغط. أخيرًا ، يمكن التعبير عن المعادلة أعلاه لحل Y:

في علم المواد ، تعتبر الاستجابة المرنة لهذه الجهود المختلفة مهمة لاختيار الأنسب لكل تطبيق ، سواء كان تصنيع جناح طائرة أو محمل آلي. تعتبر خصائص المادة التي سيتم استخدامها حاسمة في الاستجابة المتوقعة منها.

لاختيار أفضل مادة ، من الضروري معرفة الضغوط التي ستتعرض لها قطعة معينة ؛ وبالتالي حدد المادة التي لها خصائص أكثر انسجاما مع التصميم.

على سبيل المثال ، يجب أن يكون جناح الطائرة قويًا وخفيفًا وقادرًا على الانثناء. يجب أن تقاوم المواد المستخدمة في تشييد المباني الحركات الزلزالية إلى حد كبير ، ولكن يجب أيضًا أن تتمتع ببعض المرونة.

المهندسين الذين يصممون أجنحة الطائرات ، وكذلك أولئك الذين يختارون مواد البناء ، يجب أن يستفيدوا من الرسوم البيانية للإجهاد والانفعال مثل تلك الموضحة في الشكل 2.

يمكن إجراء قياسات لتحديد الخصائص المرنة الأكثر صلة للمادة في مختبرات متخصصة. وبالتالي ، هناك اختبارات معيارية تخضع لها العينات ، والتي يتم تطبيق ضغوط مختلفة عليها ، ثم يتم قياس التشوهات الناتجة.

أمثلة

كما ذكرنا سابقًا ، لا تعتمد Y على حجم أو شكل الكائن ، ولكن على خصائص المادة.

ملاحظة أخرى مهمة للغاية: لكي تكون المعادلة المذكورة أعلاه قابلة للتطبيق ، يجب أن تكون المادة متناحرة ، أي أن خصائصها يجب أن تظل دون تغيير طوال الوقت.

ليست كل المواد خواص الخواص: فهناك تلك التي تعتمد استجابتها المرنة على معايير اتجاهية معينة.

التشوه الذي تم تحليله في الأجزاء السابقة هو مجرد واحد من العديد من المواد التي يمكن أن تتعرض لها. على سبيل المثال ، من حيث الضغط الانضغاطي ، فهو عكس إجهاد الشد.

تنطبق المعادلات المعطاة على كلتا الحالتين ، وقيم Y هي نفسها دائمًا تقريبًا (المواد المتناحرة).

الاستثناء الملحوظ هو الخرسانة أو الأسمنت ، والتي تقاوم الضغط بشكل أفضل من الجر. لذلك ، يجب تقويتها عند الحاجة إلى مقاومة التمدد. الصلب هو المادة المشار إليها لهذا الغرض ، حيث إنه يقاوم التمدد أو الجر جيدًا.

تشمل الأمثلة على الهياكل المعرضة للإجهاد أعمدة البناء والأقواس وعناصر البناء الكلاسيكية في العديد من الحضارات القديمة والحديثة.

الشكل 4. بونت جوليان ، بناء روماني من 3 قبل الميلاد في جنوب فرنسا.

تمارين محلولة

التمرين 1

سلك فولاذي بطول 2.0 متر في آلة موسيقية نصف قطره 0.03 مم. عندما يكون الكابل تحت شد 90 N: كم يتغير طوله؟ البيانات: معامل يونج للصلب هو 200 × 10 ⁹ نيوتن / م ²

المحلول

مطلوب لحساب مساحة المقطع العرضي A = πR ² =. (0.03 × 10 ^-3 م) ² = 2.83 × ^10-9 م ²

الإجهاد هو إجهاد لكل وحدة مساحة:

بما أن الخيط تحت الشد ، فهذا يعني أنه يطول.

الطول الجديد هو L = L _o + DL ، حيث L _o هو الطول الأولي:

L = 2.32 م

تمرين 2

عمود رخامي مساحته 2.0 م ² يدعم كتلة 25000 كجم. تجد:

أ) الجهد المبذول في العمود الفقري.

ب) سلالة.

ج) ما هو طول العمود إذا كان ارتفاعه 12 مترًا؟

المحلول

أ) الجهد في العمود يرجع إلى وزن 25000 كجم:

P = ملغ = 25000 كجم × 9.8 م / ث ² = 245000 نيوتن

لذلك فإن الجهد هو:

ب) السلالة ΔL / L:

ج) L هو الاختلاف في الطول ، معطى بواسطة:

ΔL = 2.45 × 10 ^-6 × 12 م = 2.94 X10 ^-5 م = 0.0294 ملم.

من غير المتوقع أن يتقلص العمود الرخامي بشكل كبير. لاحظ أنه على الرغم من أن معامل يونج أقل في الرخام منه في الفولاذ ، وأن العمود يدعم أيضًا قوة أكبر بكثير ، إلا أن طوله لا يختلف تقريبًا.

من ناحية أخرى ، في حبل المثال السابق ، يكون التباين أكثر وضوحًا ، على الرغم من أن الفولاذ يحتوي على معامل يونغ أعلى بكثير.

تتدخل مساحة المقطع العرضي الكبيرة في العمود ، وبالتالي فهي أقل قابلية للتشوه.

عن توماس يونغ

1822 صورة لتوماس يونغ. توماس لورانس / المجال العام

تمت تسمية معامل المرونة على اسم توماس يونغ (1773-1829) ، وهو عالم بريطاني متعدد الاستخدامات قدم إسهامات عظيمة في العلوم في العديد من المجالات.

بصفته فيزيائيًا ، لم يدرس يونغ الطبيعة الموجية للضوء فقط ، التي كشفت عنها تجربة الشق المزدوج الشهيرة ، بل كان أيضًا طبيبًا ولغويًا ، بل وساعد في فك رموز بعض الحروف الهيروغليفية المصرية على حجر رشيد الشهير.

كان عضوًا في الجمعية الملكية ، والأكاديمية الملكية السويدية للعلوم ، والأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم أو الأكاديمية الفرنسية للعلوم ، من بين مؤسسات علمية نبيلة أخرى.

ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن مفهوم النموذج قد تم تطويره سابقًا بواسطة Leonhar Euler (1707-1873) ، وأن العلماء مثل Giordano Riccati (1709-1790) قد أجروا بالفعل تجربة من شأنها أن تضع نموذج يونغ موضع التنفيذ..

المراجع

1. باور ، دبليو 2011. فيزياء الهندسة والعلوم. المجلد 1. ماك جراو هيل. 422-527.
2. جيانكولي ، د. 2006. الفيزياء: مبادئ مع تطبيقات. الطبعة السادسة. برنتيس هول. 238 - 249.