النقطتان A و A "لهما تماثل مركزي فيما يتعلق بالنقطة O عندما يمر الجزء AA" من خلالها وهي أيضًا نقطة منتصف AA ". النقطة O تسمى مركز التناظر.
التناظر المركزي للمثلث ABC بالنسبة للنقطة O ، هو مثلث آخر A'B'C 'له الخصائص التالية:
- الأجزاء المتجانسة متساوية الطول
- الزوايا المقابلة لها نفس القياس.
الشكل 1. المثلث ABC و A'B'C المتماثل. المصدر: F. Zapata.
يوضح الشكل 1 مثلث ABC (أحمر) وتناظره المركزي A'B'C '(أخضر) ، فيما يتعلق بمركز التناظر O.
في هذا الشكل نفسه ، سيدرك المراقب اليقظ أنه يتم الحصول على نفس النتيجة من خلال تطبيق دوران للمثلث الأصلي ، طالما أنه 180 درجة ومتمحور حول O.
لذلك ، فإن التناظر المركزي يعادل دوران 180 درجة بالنسبة لمركز التناظر.
خصائص التناظر المركزي
التناظر المركزي له الخصائص التالية:
-مركز التناظر هو منتصف المقطع الذي يربط نقطة مع تناظرها.
- نقطة متناظرة من نقطة أخرى تقع في مركز التناظر ، تتزامن مع مركز التناظر.
- المتماثل المركزي للمثلث هو مثلث مطابق (يساوي) للمثلث الأصلي.
- الصورة بالتناظر المركزي للدائرة هي دائرة أخرى ذات نصف قطر متساوي.
-المحيط له تناظر مركزي فيما يتعلق بمركزه.
الشكل 2. التصميم مع التناظر المركزي. المصدر: Pixabay.
-القطع الناقص له تناظر مركزي فيما يتعلق بمركزه.
-القطعة لها تناظر مركزي فيما يتعلق بنقطة المنتصف.
- ليس للمثلث المتساوي الأضلاع تناظر مركزي بالنسبة لمركزه ، لأن تناظره ، على الرغم من تطابقه مع الأول ، يعطي مثلثًا متساوي الأضلاع مستديرًا.
-المربعات لها تناظر مركزي بالنسبة لمركزها.
- البنتاغون يفتقر إلى التناظر المركزي فيما يتعلق بمركزه.
-المضلعات المنتظمة لها تناظر مركزي عندما يكون لها عدد زوجي من الأضلاع.
أمثلة
معايير التناظر لها العديد من التطبيقات في العلوم والهندسة. التناظر المركزي موجود في الطبيعة ، على سبيل المثال ، تمتلك بلورات الجليد وأنسجة العنكبوت هذا النوع من التناظر.
علاوة على ذلك ، يمكن حل العديد من المشكلات بسهولة عند الاستفادة من وجود التناظر المركزي وأنواع أخرى من التناظر. لذلك ، من الملائم تحديد وقت حدوثه بسرعة.
الشكل 3. بلورات الجليد لها تناظر مركزي. المصدر: Pixabay.
مثال 1
بالنظر إلى النقطة P من الإحداثيات (أ ، ب) ، يجب علينا إيجاد إحداثيات متماثلها P 'بالنسبة إلى أصل الإحداثيات O (0 ، 0).
أول شيء هو بناء النقطة P '، والتي من أجلها يتم رسم خط يمر عبر الأصل O ومن خلال النقطة P. معادلة هذا الخط هي y = (b / a) x.
الآن دعنا نسمي (أ '، ب') إحداثيات النقطة المتماثلة P '. يجب أن تقع النقطة P 'على الخط الذي يمر عبر O وبالتالي فهي صحيحة: b' = (b / a) a '. علاوة على ذلك ، يجب أن تكون المسافة OP مساوية لـ OP '، والتي تتم كتابتها في شكل تحليلي على النحو التالي:
√ (أ 2 + ب 2) = √ (أ ' 2 + ب' 2)
ما يلي هو استبدال b '= في التعبير السابق وتربيع جانبي المساواة لإزالة الجذر التربيعي: (a 2 + b 2) =
من خلال استخراج العامل المشترك والتبسيط ، نحصل على ' 2 = a 2. هذه المعادلة لها حلين حقيقيين: أ '= + أ أو' = -أ.
للحصول على b '، نستخدم مرة أخرى b' = (b / a) a '. إذا تم استبدال الحل الموجب لـ '، فإننا نصل إلى ذلك b' = b. وعند التعويض بالمحلول السالب ، يكون b '= -b.
يعطي الحل الموجب لـ P 'نفس النقطة P ، لذلك يتم تجاهلها. يعطي الحل السالب بالتأكيد إحداثيات النقطة المتماثلة:
P ': (-a، -b)
مثال 2
مطلوب توضيح أن القطعة AB ومتماثلها المركزي A'B 'لهما نفس الطول.
بدءًا من إحداثيات النقطة A ، وهي (Ax ، Ay) وتلك الخاصة بالنقطة B: (Bx ، By) ، يُعطى طول المقطع AB بواسطة:
د (AB) = √ ((Bx - Ax) 2 + (By - Ay) 2)
عن طريق القياس ، سيكون طول المقطع المتماثل A'B 'مُعطى من خلال:
د (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') 2 + (بواسطة' - Ay ') 2)
إحداثيات النقطة المتماثلة A 'هي Ax' = -Ax و Ay '= -Ay. وبالمثل فإن B 'هي Bx' = -Bx و By '= -By. إذا تم استبدال هذه الإحداثيات في معادلة المسافة d (A'B ') لدينا:
د (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) 2 + (-By + Ay) 2) وهو ما يعادل:
√ ((Bx - Ax) 2 + (By - Ay) 2) = د (AB)
وبالتالي يتم توضيح أن كلا الجزأين لهما نفس الطول.
تمارين محلولة
- التمرين 1
بيّن تحليليًا أن المتماثل المركزي O لدائرة نصف قطرها R والمركز O هما نفس الدائرة الأصلية.
المحلول
معادلة الدائرة نصف قطرها R ومركزها O (0،0) هي:
x 2 + y 2 = R 2 (معادلة المحيط C)
إذا تم العثور على P 'للإحداثيات (x'، y ') عند كل نقطة P من المحيط y للإحداثيات (x ، y') ، فإن معادلة المحيط المتماثل هي:
x ' 2 + y' 2 = R 2 (معادلة الدائرة المتماثلة C ')
نشير الآن إلى نتيجة المثال 1 ، الذي استنتج أن إحداثيات النقطة P '، المتماثلة مع P والإحداثيات (أ ، ب) ، هي (-a ، -b).
لكن في هذا التمرين ، يكون للنقطة P إحداثيات (س ، ص) ، لذلك سيكون لها المتماثل P 'إحداثيات x' = -xe y '= -y. استبدال هذا في معادلة الدائرة المتماثلة لدينا:
(-x) 2 + (-y) 2 = R 2
وهو ما يعادل: x 2 + y 2 = R 2 ، مستنتجًا أن التناظر المركزي لدائرة بالنسبة إلى مركزها هو الدائرة نفسها.
- تمرين 2
أظهر بشكل هندسي أن التناظر المركزي يحافظ على الزوايا.
المحلول
الشكل 4. بناء النقاط المتماثلة للتمرين 2. المصدر: F. Zapata.
هناك ثلاث نقاط A و B و C على المستوى. متناظراتها A 'و B' و C 'مبنية فيما يتعلق بمركز التناظر O ، كما هو موضح في الشكل 4.
الآن يجب أن نظهر أن الزاوية ∡ABC = β لها نفس قياس الزاوية A'B'C '= β'.
نظرًا لأن C و C متماثلان ، فإن OC = OC '. وبالمثل OB = OB 'و OA = OA'. من ناحية أخرى ، الزاوية ∡BOC = B'OC 'لأن الرأس يقابلهما.
لذلك فإن المثلثين BOC و B'OC 'متطابقان لأن لهما زاوية متساوية بين ضلعين متساويين.
نظرًا لأن BOC مطابق لـ B'OC ، فإن الزاويتين و 'متساويتان. لكن هذه الزوايا ، بالإضافة إلى تحقيق γ = γ '، هي بدائل داخلية بين الخطين BC و B'C' ، مما يعني أن الخط BC موازي لـ B'C '.
وبالمثل فإن BOA مطابق لـ B'OA والذي يتبع منه أن α = α '. لكن α و α 'هما زاويتان داخليتان متبادلتان بين الخطين BA و B'A' ، ومنه استنتج أن الخط BA يوازي B'A.
نظرًا لأن الزاوية ∡ABC = لها جوانبها موازية للزاوية A'B'C '= β' وكلاهما أيضًا حاد ، فقد استنتج ما يلي:
∡ABC = A'B'C '= β = β'
يثبت بهذه الطريقة أن التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا.
المراجع
- Baldor، JA 1973. الطائرة وهندسة الفضاء. ثقافة أمريكا الوسطى.
- القوانين والصيغ الرياضية. أنظمة قياس الزوايا. تم الاسترجاع من: ingemecanica.com.
- وينتورث ، جي هندسة الطائرة. تم الاسترجاع من: gutenberg.org.
- ويكيبيديا. التناظر المركزي. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
- ويكيبيديا. ناقل. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
- Zapata F. اقتران الزوايا الداخلية والخارجية. تم الاسترجاع من: lifeder.com