- أمثلة على درجة كثيرة الحدود
- الجدول 1. أمثلة على كثيرات الحدود ودرجاتها
- إجراء للعمل مع كثيرات الحدود
- اطلب كثيرات الحدود واختزلها وأكملها
- أهمية درجة كثير الحدود بالإضافة إلى الطرح
- تمارين محلولة
- - تم حل التمرين 1
- المحلول
- - تمرين حل 2
- المحلول
- المراجع
يتم تحديد درجة كثير الحدود في المتغير من خلال المصطلح الذي يحتوي على الأس الأكبر ، وإذا كان كثير الحدود يحتوي على متغيرين أو أكثر ، يتم تحديد الدرجة بمجموع الأس لكل مصطلح ، ويكون المجموع الأكبر هو الدرجة من كثير الحدود.
دعونا نرى كيفية تحديد درجة كثير الحدود بطريقة عملية.
الشكل 1. معادلة آينشتاين الشهيرة للطاقة E هي أحادية من الدرجة المطلقة 1 للكتلة المتغيرة ، يُرمز إليها بالمتر ، حيث أن سرعة الضوء ج تعتبر ثابتة. المصدر: Piqsels.
افترض أن كثير الحدود P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2. كثير الحدود هذا هو متغير واحد ، في هذه الحالة هو المتغير x. يتكون كثير الحدود هذا من عدة مصطلحات ، وهي كالتالي:
والآن ما هو الأس؟ الإجابة هي 3. إذن ، P (x) هي كثيرة حدود من الدرجة 3.
إذا كان كثير الحدود المعني يحتوي على أكثر من متغير واحد ، فيمكن أن تكون الدرجة:
-مطلق
- بالنسبة للمتغير
تم العثور على الدرجة المطلقة كما هو موضح في البداية: إضافة الأس لكل حد واختيار الأكبر.
بدلاً من ذلك ، فإن درجة كثير الحدود فيما يتعلق بأحد المتغيرات أو الأحرف هي أكبر قيمة للأس هذا الحرف المذكور. ستصبح النقطة أكثر وضوحًا مع الأمثلة والتمارين التي تم حلها في الأقسام التالية.
أمثلة على درجة كثيرة الحدود
يمكن تصنيف كثيرات الحدود حسب الدرجة ، ويمكن أن تكون من الدرجة الأولى والدرجة الثانية والدرجة الثالثة وما إلى ذلك. بالنسبة للمثال الموضح في الشكل 1 ، تعتبر الطاقة أحادية الطبقة من الدرجة الأولى للكتلة.
من المهم أيضًا ملاحظة أن عدد المصطلحات في كثير الحدود يساوي الدرجة زائد 1. وبالتالي:
- كثيرات الحدود من الدرجة الأولى لها مصطلحان: a 1 x + a o
- كثيرة الحدود من الدرجة الثانية لها 3 حدود: a 2 x 2 + a 1 x + a o
- كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة لها 4 حدود: أ 3 × 3 + أ 2 × 2 + أ 1 × + أ أو
وما إلى ذلك وهلم جرا. سيلاحظ القارئ الدقيق أن كثيرات الحدود في الأمثلة السابقة مكتوبة بصيغة متناقصة ، أي وضع المصطلح بأعلى درجة أولاً.
يوضح الجدول التالي العديد من المتغيرات ، سواء لمتغير واحد أو من عدة متغيرات ودرجاتها المطلقة:
الجدول 1. أمثلة على كثيرات الحدود ودرجاتها
| متعدد الحدود | الدرجة العلمية |
|---|---|
| 3 س 4 + 5 س 3 -2 س + 3 | 4 |
| 7 س 3 -2 س 2 + 3 س 6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | واحد |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3X 3 و 5 + 5X 2 و 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
كثيرات الحدود الأخيرتان لها أكثر من متغير واحد. من بين هؤلاء ، تم تمييز المصطلح ذو أعلى درجة مطلقة بالخط العريض ، بحيث يمكن للقارئ التحقق بسرعة من الدرجة. من المهم أن تتذكر أنه عندما لا يحتوي المتغير على أس مكتوب ، فمن المفهوم أن الأس المذكور يساوي 1.
على سبيل المثال ، في المصطلح المميز ab 3 x 2 ، هناك ثلاثة متغيرات ، وهي: a و b و x. في هذا المصطلح ، يتم رفع a إلى 1 ، أي:
أ = أ 1
إذن ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
نظرًا لأن الأس b هو 3 ودرجة x تساوي 2 ، فإنه يتبع على الفور أن درجة هذا المصطلح هي:
1 + 3 + 2 = 6
Y هي الدرجة المطلقة لكثيرات الحدود ، حيث لا يوجد مصطلح آخر له درجة أعلى.
إجراء للعمل مع كثيرات الحدود
عند العمل مع كثيرات الحدود ، من المهم الانتباه إلى درجة ذلك ، لأنه أولاً وقبل إجراء أي عملية ، من الملائم اتباع هذه الخطوات ، حيث توفر الدرجة معلومات مهمة للغاية:
-أمر كثير حدود التفضيل في اتجاه تنازلي. وهكذا ، فإن المصطلح ذو الدرجة الأعلى يكون على اليسار ، والمصطلح ذو الدرجة الأدنى يكون على اليمين.
-تخفيض المصطلحات المتشابهة ، وهو إجراء يتكون من إضافة جميع مصطلحات نفس المتغير والدرجة الموجودة في التعبير جبريًا.
-إذا لزم الأمر ، يتم إكمال كثيرات الحدود ، مع إدخال المصطلحات التي يكون معاملها 0 ، في حالة عدم وجود مصطلحات مع الأس.
اطلب كثيرات الحدود واختزلها وأكملها
بالنظر إلى كثير الحدود P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12 ، يطلب ترتيبها تنازليًا ، وتقليل الحدود المتشابهة ، إن وجدت ، وإكمال الحدود الناقصة. إذا كانت دقيقة.
أول شيء يجب البحث عنه هو المصطلح ذو الأس الأكبر ، وهو درجة كثير الحدود ، والتي تبين أنها:
× 7
لذلك P (x) من الدرجة 7. ثم يتم ترتيب كثير الحدود ، بدءًا من هذا المصطلح على اليسار:
الفوسفور (س) = س 7 + 2 س 5 - 5 س 4 - 3 س 3 + 6 س 2 - 2 س + 3 س + 7-12
الآن يتم تقليل الحدود المتشابهة ، وهي كالتالي: - 2x و 3x من جهة. و 7 و -12 من جهة أخرى. لتقليلها ، تُضاف المعاملات جبريًا ويترك المتغير دون تغيير (إذا لم يظهر المتغير بجوار المعامل ، تذكر أن x 0 = 1):
-2 س + 3 س = س
7-12 = -5
استبدل هذه النتائج في P (x):
الفوسفور (س) = س 7 + 2 س 5 - 5 س 4 - 3 س 3 + 6 س 2 + س -5
وأخيرًا ، يتم فحص كثير الحدود لمعرفة ما إذا كان أي أس مفقودًا ، وبالفعل ، فإن المصطلح الذي يكون أسه مفقودًا هو 6 ، لذلك يتم إكماله بأصفار مثل هذا:
الفوسفور (س) = س 7 + 0 × 6 + 2 س 5 - 5 س 4 - 3 س 3 + 6 س 2 + س - 5
يُلاحظ الآن أن كثير الحدود قد تُرك بـ 8 حدود ، لأنه كما قيل سابقًا ، فإن عدد الحدود يساوي الدرجة + 1.
أهمية درجة كثير الحدود بالإضافة إلى الطرح
باستخدام كثيرات الحدود ، يمكنك إجراء عمليات الجمع والطرح ، حيث يتم إضافة أو طرح المصطلحات المتشابهة فقط ، والتي لها نفس المتغير ونفس الدرجة. إذا لم تكن هناك مصطلحات متشابهة ، تتم الإشارة ببساطة إلى الجمع أو الطرح.
بمجرد إجراء الإضافة أو الطرح ، يكون الأخير هو مجموع العكس ، تكون درجة كثير الحدود الناتجة دائمًا مساوية أو أقل من درجة كثير الحدود التي تضيف أعلى درجة.
تمارين محلولة
- تم حل التمرين 1
ابحث عن المجموع التالي وحدد درجته المطلقة:
و 3 - 8AX 2 + س 3 + 5A 2 س - 6AX 2 - س 3 + 3A 3 - 5A 2 س - س 3 + على 3 + 14ax 2 - س 3
المحلول
إنها كثيرة حدود ذات متغيرين ، لذا فمن الملائم تقليل المصطلحات المشابهة:
أ 3 - 8 ماكس 2 + س 3 + 5 أ 2 س - 6 ماكس 2 - س 3 + 3 أ 3 - 5 أ 2 س - س 3 + أ 3 + 14 ماكس 2 - س 3 =
= و 3 + 3A 3 + من 3 - 8AX 2 - 6AX 2 + 14ax 2 + 5A 2 س - 5A 2 س + س 3 - س 3 - س 3 - س 3 =
= 5 أ 3 - 2 س 3
كلا المصطلحين من الدرجة 3 في كل متغير. لذلك فإن الدرجة المطلقة لكثير الحدود هي 3.
- تمرين حل 2
عبر عن مساحة الشكل الهندسي المستوي التالي ككثير الحدود (الشكل 2 على اليسار). ما هي درجة الناتج كثير الحدود؟
الشكل 2. على اليسار ، الرقم الخاص بالتمرين 2 الذي تم حله وعلى اليمين ، يتحلل نفس الشكل إلى ثلاث مناطق يُعرف تعبيرها. المصدر: F. Zapata.
المحلول
نظرًا لأنها منطقة ، يجب أن تكون كثيرة الحدود الناتجة من الدرجة 2 في المتغير x. لتحديد تعبير مناسب للمنطقة ، يتحلل الشكل إلى مناطق معروفة:
مساحة المستطيل والمثلث هي على التوالي: القاعدة × الارتفاع والقاعدة × الارتفاع / 2
أ 1 = س. 3 س = 3 س 2 ؛ أ 2 = 5. س = 5 س ؛ أ 3 = 5. (2x / 2) = 5x
ملاحظة: قاعدة المثلث 3x - x = 2x وارتفاعه 5.
الآن تمت إضافة التعبيرات الثلاثة التي تم الحصول عليها ، وبذلك لدينا مساحة الشكل كدالة في x:
3 س 2 + 5 س + 5 س = 3 س 2 + 10 س
المراجع
- بالدور ، أ. 1974 ، الجبر الابتدائي. فنزويلا الثقافية SA
- Jiménez، R. 2008. الجبر. برنتيس هول.
- ويكي الكتب. كثيرات الحدود. تعافى من: es. wikibooks.org.
- ويكيبيديا. الدرجة (كثير الحدود). تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.
- زيل ، د. 1984. الجبر وعلم المثلثات. ماك جراو هيل.