اقتران الزوايا الداخلية والخارجية: أمثلة ، تمارين - رياضيات - 2026

و تقارن زوايا هي تلك تضاف إلى النتائج إلى أن 360، بغض النظر من زوايا قال متجاورة أو لا. تظهر زاويتان مترافقتان في الشكل 1 ، يرمزان إلى α و.

في هذه الحالة ، الزاويتان α و في الشكل لهما رأس مشترك وضلعاهما مشتركان ، وبالتالي فإنهما متجاورتان. يتم التعبير عن العلاقة بينهما على النحو التالي:

α + β = 360º

الشكل 1. زاويتان مركزيتان مترافقتان ، المجموع. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. لم يتم توفير مؤلف يمكن قراءته آليًا. افترض Thiago R Ramos (بناءً على مطالبات حقوق النشر). إنه تصنيف للزوايا بمجموعها. تشمل التعريفات الهامة الأخرى الزوايا التكميلية ، ومجموعها 90 درجة ، والزوايا الإضافية ، والتي يبلغ مجموعها 180 درجة.

من ناحية أخرى ، دعونا ننظر الآن في خطين متوازيين مقطوعين بواسطة قاطع ، وترتيبه موضح أدناه:

الشكل 2. خطوط متوازية مقطوعة بواسطة قاطع. المصدر: F. Zapata.

الخطان MN و PQ متوازيان ، بينما الخط RS قاطع ، يتقاطع مع المتوازيات عند نقطتين. كما يتضح ، يحدد هذا التكوين تشكيل 8 زوايا ، والتي تم الإشارة إليها بأحرف صغيرة.

حسنًا ، وفقًا للتعريف الوارد في البداية ، تم تصريف الزوايا أ وب وج ود. وبنفس الطريقة ، فإن e و f و g و h ، لأن كلتا الحالتين صحيحتان:

أ + ب + ج + د = 360 درجة

و

e + f + g + h = 360º

بالنسبة لهذا التكوين ، يتم تصريف زاويتين إذا كانتا على نفس الجانب فيما يتعلق بالخط القاطع RS وكلاهما داخلي أو خارجي. في الحالة الأولى ، نتحدث عن زوايا مقترنة داخلية ، بينما في الحالة الثانية ، تكون زوايا مترافقة خارجية.

أمثلة

في الشكل 2 ، الزوايا الخارجية هي تلك التي تقع خارج المنطقة المحددة بواسطة الخطين MN و PQ ، فهي الزوايا A و B و G و H. بينما الزوايا الموجودة بين الخطين هي C و D و E و F.

الآن من الضروري تحليل أي زوايا على اليسار وأيها على يمين القاطع.

على يسار RS توجد الزوايا A و C و E و G وإلى اليمين الزوايا B و D و F و H.

ننتقل فورًا إلى تحديد أزواج الزاوية المترافقة ، وفقًا للتعريف الوارد في القسم السابق:

-A و G ، خارجي وعلى يسار RS.

- D و F ، داخليًا وعلى يمين RS.

-B و H ، خارجي وعلى يمين RS.

-C و E ، داخليًا وعلى يسار RS.

خاصية الزوايا المترافقة بين الخطوط المتوازية

الزوايا المترافقة بين الخطوط المتوازية مكملة ، أي أن مجموعها يساوي 180 درجة. بهذه الطريقة ، بالنسبة للشكل 2 ، يكون ما يلي صحيحًا:

أ + ز = 180 درجة

D + F = 180 درجة

ب + ع = 180 درجة

C + E = 180 درجة

أزواج الزوايا المتناظرة للخطوط المتوازية

هم أولئك الذين هم على نفس الجانب من الخط القاطع ، فهم ليسوا متجاورين وواحد منهم داخلي والآخر خارجي. من المهم أن نتخيلها ، لأن قياسها هو نفسه ، لأنهما زاويتان متقابلتان عند الرأس.

بالعودة إلى الشكل 2 ، يتم تحديد أزواج الزوايا المقابلة على النحو التالي:

-A و E

-C و G

-B و F.

-D و H

الزوايا الداخلية للشكل الرباعي

الأشكال الرباعية هي مضلعات رباعية الأضلاع ، من بينها المربع ، والمستطيل ، وشبه المنحرف ، ومتوازي الأضلاع والمعين ، على سبيل المثال. بغض النظر عن شكلها ، فمن الصحيح في أي منها أن مجموع زواياها الداخلية هو 360 درجة ، وبالتالي فهي تلبي التعريف الوارد في البداية.

دعونا نرى بعض الأمثلة على الأشكال الرباعية وكيفية حساب قيمة زواياها الداخلية وفقًا للمعلومات الواردة في الأقسام السابقة:

أمثلة

أ) ثلاث من زوايا قياس رباعي 75º ، 110º ، 70º. كم يجب قياس الزاوية المتبقية؟

ب) أوجد قيمة الزاوية Q في الشكل 3 i.

ج) احسب قياس الزاوية A في الشكل 3 ii.

الاجابه على

دع α هي الزاوية المفقودة ، اقتنع بما يلي:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

الحل ب

الشكل 3 أ هو شبه منحرف واثنتان من زواياه الداخلية على اليمين ، وقد تم تمييزهما بمربع ملون في الزوايا. بالنسبة لهذا الرباعي ، تم التحقق مما يلي:

∠R + ∠S + P + Q = 360º ؛ ∠S = ∠R = 90 درجة ؛ ∠P = 60º

هكذا:

∠ س = 2 × 90º + 60º = 240 درجة

الحل ج

الشكل الرباعي في الشكل 3 ii هو أيضًا شبه منحرف ، وهذا ينطبق على ما يلي:

∠A + ∠B + C + D = 360º

هكذا:

4 س -5 + 3 س + 10 +180 = 360

7 س + 5 = 180

س = (180-5) / 7

س = 25

لتحديد الزاوية المطلوبة في البيان ، نستخدم ذلك ∠A = 4x - 5. استبدال القيمة المحسوبة مسبقًا لـ x ، يتبع ذلك ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

تمارين

- التمرين 1

مع العلم أن إحدى الزوايا الموضحة هي 125º ، أوجد قياسات الزوايا السبع المتبقية في الشكل التالي وبرر الإجابات.

الشكل 4. خطوط وزوايا التمرين 1. المصدر: F. Zapata.

المحلول

الزاوية 6 والزاوية 125º هما اتحادان داخليان مجموعهما 180 درجة وفقًا لخاصية الزوايا المترافقة ، لذلك:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

من ناحية أخرى 6 و 8 زاويتان متقابلتان على الرأس ، قياسهما هو نفسه. لذلك فإن 8 يقيس 55º.

الزاوية ∠1 هي أيضًا متقابلة للرأس عند 125º ، ثم يمكننا التأكيد على أن ∠1 = 125º. يمكننا أيضًا أن نلجأ إلى حقيقة أن أزواج الزوايا المتناظرة لها نفس القياس. في الشكل هذه الزوايا هي:

∠7 = 125 º

∠2 = 6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = 8 = 55 º

- تمرين 2

أوجد قيمة x في الشكل التالي وقيم جميع الزوايا:

الشكل 5. خطوط وزوايا للتمرين 2. المصدر: F. Zapata.

المحلول

نظرًا لأنهما أزواج متناظرة ، فيتبع ذلك أن F = 73º. ومن ناحية أخرى ، مجموع الأزواج المترافقة هو 180º ، لذلك:

3 س + 20 درجة + 73 درجة = 180 درجة

3 س = 180 درجة - 73 درجة - 20 درجة = 87

أخيرًا ، قيمة x هي:

س = 87/3 = 29

أما جميع الزوايا فهي مذكورة بالشكل التالي:

الشكل 6. الزوايا الناتجة عن التمرين 2. المصدر: F. Zapata.

المراجع

1. مجموعات الزاوية. شرح الزوايا التكميلية و التكميلية. تعافى من: thisiget.com/
2. Baldor، A. 1983. هندسة الطائرة والفضاء وعلم المثلثات. مجموعة باتريا الثقافية.
3. Corral، M. الرياضيات LibreTexts: الزوايا. تم الاسترجاع من: math.libretexts.org.
4. ماثمانيا. تصنيف الزوايا وبناءها بقياسها. تم الاسترجاع من: mathemania.com/
5. وينتورث ، جي هندسة الطائرة. تم الاسترجاع من: gutenberg.org.
6. ويكيبيديا. الزوايا المترافقة. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.