- كيف تحصل على المتجه الطبيعي للطائرة؟
- المتجه الطبيعي من منتج المتجه
- مثال
- المحلول
- حساب منتج المتجه
- معادلة المستوى
- المراجع
و ناقلات العادي هو الذي يحدد اتجاه عمودي على كيان هندسي قيد النظر، التي يمكن أن تكون من خلال منحنى، طائرة أو سطح، على سبيل المثال.
إنه مفهوم مفيد للغاية في وضع جسيم متحرك أو بعض الأسطح في الفضاء. في الرسم البياني التالي ، من الممكن أن نرى ما يشبه المتجه الطبيعي لمنحنى تعسفي C:
الشكل 1. منحنى C مع المتجه العادي للمنحنى عند النقطة P. المصدر: Svjo
ضع في اعتبارك النقطة P على المنحنى C. يمكن أن تمثل النقطة جسيمًا متحركًا يتحرك على طول مسار على شكل حرف C. خط المماس للمنحنى عند النقطة P مرسوم باللون الأحمر.
لاحظ أن المتجه T مماس لـ C عند كل نقطة ، بينما المتجه N متعامد على T ويشير إلى مركز دائرة خيالية يكون قوسها جزءًا من C. يتم الإشارة إلى المتجهات بخط عريض في النص المطبوع ، تميزهم عن الكميات الأخرى غير المتجهية.
يشير المتجه T دائمًا إلى المكان الذي يتحرك فيه الجسيم ، وبالتالي فهو يشير إلى سرعة الجسيم. من ناحية أخرى ، يشير المتجه N دائمًا إلى الاتجاه الذي يدور فيه الجسيم ، وبهذه الطريقة يشير إلى تقعر المنحنى C.
كيف تحصل على المتجه الطبيعي للطائرة؟
لا يكون المتجه العادي بالضرورة متجهًا للوحدة ، أي متجهًا معامله 1 ، ولكن إذا كان الأمر كذلك ، يُسمى متجه الوحدة العادي.
الشكل 2. على اليسار الطائرة P والمتجهان العاديان للطائرة المذكورة. على اليمين متجهات الوحدة في الاتجاهات الثلاثة التي تحدد المساحة. المصدر: ويكيميديا كومنز. انظر الصفحة للمؤلف
في العديد من التطبيقات ، من الضروري معرفة المتجه الطبيعي للمستوى بدلاً من المنحنى. يكشف هذا المتجه عن اتجاه الطائرة المذكورة في الفضاء. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المستوى P (الأصفر) من الشكل:
يوجد متجهان عاديان لهذا المستوى: n 1 و n 2. يعتمد استخدام أحدهما أو الآخر على السياق الذي يوجد فيه المستوى المذكور. يعد الحصول على المتجه العادي إلى المستوى أمرًا بسيطًا للغاية إذا كانت معادلة المستوى معروفة:
يتم هنا التعبير عن المتجه N بدلالة متجهات الوحدة العمودية i و j و k الموجهة على طول الاتجاهات الثلاثة التي تحدد مساحة xyz ، انظر الشكل 2 على اليمين.
المتجه الطبيعي من منتج المتجه
إجراء بسيط للغاية للعثور على المتجه العادي يستخدم خصائص المنتج المتجه بين متجهين.
كما هو معروف ، تحدد ثلاث نقاط مختلفة ، غير مترابطة مع بعضها البعض ، المستوى P. الآن ، من الممكن الحصول على متجهين u و v ينتميان إلى المستوى المذكور الذي يحتوي على هذه النقاط الثلاث.
بمجرد الحصول على المتجهات ، يكون منتج المتجه u x v عملية تكون نتيجتها بدورها متجهًا ، والتي لها خاصية كونها متعامدة مع المستوى الذي يحدده u و v.
يعرف هذا المتجه ، ويشار إليه بالرمز N ، ومنه سيكون من الممكن تحديد معادلة المستوى بفضل المعادلة الموضحة في القسم السابق:
N = u x v
يوضح الشكل التالي الإجراء الموصوف:
الشكل 3. مع متجهين وحاصل ضربهما أو تقاطعهما ، يتم تحديد معادلة المستوى الذي يحتوي على المتجهين. المصدر: ويكيميديا كومنز. لم يتم توفير مؤلف يمكن قراءته آليًا. يفترض M.Romero Schmidtke (بناءً على مطالبات حقوق النشر).
مثال
أوجد معادلة المستوى المحدد بالنقاط A (2،1،3) ؛ ب (0،1،1) ؛ ج (4.2.1).
المحلول
يوضح هذا التمرين الإجراء الموضح أعلاه. من خلال الحصول على 3 نقاط ، يتم اختيار أحدها كأصل مشترك لمتجهين ينتميان إلى المستوى المحدد بواسطة هذه النقاط. على سبيل المثال ، يتم تعيين النقطة A على أنها الأصل ويتم إنشاء المتجهين AB و AC.
المتجه AB هو المتجه الذي أصله النقطة A ونقطة نهايته هي النقطة B. يتم تحديد إحداثيات المتجه AB عن طريق طرح إحداثيات B من إحداثيات A على التوالي:
ننتقل بنفس الطريقة لإيجاد المتجه AC:
حساب منتج المتجه
توجد عدة إجراءات لإيجاد حاصل الضرب التبادلي بين متجهين. يستخدم هذا المثال إجراء ذاكري يستخدم الشكل التالي للعثور على منتجات المتجه بين متجهات الوحدة i و j و k:
الشكل 4. رسم بياني لتحديد منتج المتجه بين متجهات الوحدة. المصدر: عصامي.
للبدء ، من الجيد أن نتذكر أن منتجات المتجهات بين المتجهات المتوازية لاغية ، لذلك:
أنا س أنا = 0 ؛ ي س ي = 0 ؛ ك س ك = 0
وبما أن منتج المتجه هو متجه آخر عمودي على المتجهات المشاركة ، يتحرك في اتجاه السهم الأحمر لدينا:
إذا كان عليك التحرك في الاتجاه المعاكس للسهم ، فقم بإضافة علامة (-):
في المجموع ، من الممكن عمل 9 منتجات متجهة مع متجهات الوحدة i و j و k ، منها 3 ستكون خالية.
AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k) x (2 i + j -2 k) = -4 (i x i) -2 (i x j) +4 (i x k) +0 (j x i) + 0 (j x j) - 0 (j x k) - 4 (k x i) -2 (k x j) + 4 (k x k) = -2 k -4ي -4 ي +2 ط = 2 ط -8 ي -2 ك
معادلة المستوى
تم تحديد المتجه N بواسطة منتج المتجه المحسوب مسبقًا:
N = 2 ط -8 ي -2 ك
لذلك أ = 2 ، ب = -8 ، ج = -2 ، المستوى المطلوب هو:
تبقى قيمة d قيد التحديد. يكون هذا سهلاً إذا تم استبدال قيم أي من النقاط A أو B أو C المتوفرة في معادلة المستوى. اختيار C على سبيل المثال:
س = 4 ؛ ص = 2 ؛ ض = 1
بقي:
باختصار ، الخريطة المطلوبة هي:
قد يتساءل القارئ الفضولي عما إذا كان سيتم الحصول على نفس النتيجة إذا تم اختياره للقيام بـ AC x AB بدلاً من فعل AB x AC . الإجابة هي نعم ، المستوى الذي تحدده هذه النقاط الثلاث فريد من نوعه وله متجهان عاديان ، كما هو موضح في الشكل 2.
بالنسبة للنقطة المحددة كأصل للمتجهات ، فلا توجد مشكلة في اختيار أي من النقطتين الأخريين.
المراجع
- فيغيروا ، د. (2005). السلسلة: فيزياء العلوم والهندسة. المجلد 1. الكينماتيكا. حرره دوغلاس فيغيروا (USB). 31- 62.
- إيجاد المستوى الطبيعي للطائرة. تم الاسترجاع من: web.ma.utexas.edu.
- لارسون ، ر. (1986). التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية. ماك جراو هيل. 616-647.
- خطوط وطائرات في R 3. تم الاسترجاع من: math.harvard.edu.
- ناقلات الطبيعي. تعافى من mathworld.wolfram.com.