التفرطح: التعريف والأنواع والصيغ وما هي عليه على سبيل المثال - دوداس - 2025

و التفرطح أو التفرطح معلمة الإحصائية المستخدمة لوصف التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي، مما يدل على درجة تركيز القيم حول التدبير المركزي. يُعرف هذا أيضًا باسم "درجة الذروة".

يأتي المصطلح من الكلمة اليونانية "kurtos" التي تعني القوس ، لذلك يشير التفرطح إلى درجة التأشير أو تسطيح التوزيع ، كما هو موضح في الشكل التالي:

الشكل 1. أنواع مختلفة من التفرطح. المصدر: F. Zapata.

تميل جميع قيم المتغير العشوائي تقريبًا إلى التجمع حول قيمة مركزية مثل المتوسط. ولكن في بعض التوزيعات ، تكون القيم أكثر تشتتًا من التوزيعات الأخرى ، مما يؤدي إلى منحنيات أكثر تسطحًا أو أقل حجمًا.

تعريف

التفرطح هو قيمة عددية نموذجية لكل توزيع تردد ، والتي ، وفقًا لتركيز القيم حول الوسط ، يتم تصنيفها إلى ثلاث مجموعات:

- Leptokurtic: حيث تكون القيم متجمعة للغاية حول الوسط ، وبالتالي يكون التوزيع مدببًا ونحيلًا (الشكل 1 ، على اليسار).

- Mesocrtic: له تركيز معتدل من القيم حول الوسط (الشكل 1 في المركز).

- Platicúrtica: هذا التوزيع له شكل أوسع ، حيث تميل القيم إلى أن تكون أكثر تشتتًا (الشكل 1 على اليمين).

الصيغ والمعادلات

يمكن أن يكون للتفرطح أي قيمة ، دون قيود. يتم حسابها اعتمادًا على الطريقة التي يتم بها تسليم البيانات. الترميز المستخدم في كل حالة هو كما يلي:

- معامل التفرطح: ز ₂

-المتوسط ​​الحسابي: X أو x مع شريط

- قيمة _i: x _i

-انحراف قياسي: σ

-عدد البيانات: ن

-تواتر القيمة _i: f _i

العلامة التجارية -Class: MX _i

من خلال هذا الترميز ، نقدم بعض الصيغ الأكثر استخدامًا للعثور على التفرطح:

- التفرطح حسب عرض البيانات

البيانات غير مجمعة أو مجمعة في الترددات

البيانات مجمعة في فترات

التفرطح الزائد

يُطلق عليه أيضًا معامل استهداف فيشر أو مقياس فيشر ، ويستخدم لمقارنة التوزيع قيد الدراسة بالتوزيع الطبيعي.

عندما يكون التفرطح الزائد 0 ، فإننا في وجود توزيع طبيعي أو جرس غاوسي. بهذه الطريقة ، كلما تم حساب التفرطح الزائد للتوزيع ، فإننا في الواقع نقارنه بالتوزيع الطبيعي.

لكل من البيانات غير المجمعة والمجمعة ، معامل التأشير فيشر ، المشار إليه بواسطة K ، هو:

K = ز ₂ - 3

الآن ، يمكن إثبات أن تفرطح التوزيع الطبيعي هو 3 ، لذلك إذا كان معامل التأشير فيشر 0 أو قريبًا من 0 وكان هناك توزيع متوسط. إذا كان K> 0 ، يكون التوزيع leptokurtic وإذا كان K <0 يكون بلاتيكيًا.

ما هو التفرطح؟

التفرطح هو مقياس للتباين يستخدم لوصف مورفولوجيا التوزيع. بهذه الطريقة ، يمكن مقارنة التوزيعات المتماثلة مع نفس المتوسط ​​ونفس التشتت (المعطى من خلال الانحراف المعياري).

يضمن وجود مقاييس التباين أن المتوسطات موثوقة ويساعد على التحكم في الاختلافات في التوزيع. كمثال ، دعونا نلقي نظرة على هاتين الحالتين.

رواتب 3 اقسام

افترض أن الرسم البياني التالي يوضح توزيعات الرواتب لثلاث أقسام من نفس الشركة:

الشكل 2. ثلاثة توزيعات مع تفرطح مختلفة توضح المواقف العملية. (من إعداد فاني زاباتا)

المنحنى (أ) هو الأنحف على الإطلاق ، ومن شكله يمكن الاستدلال على أن معظم رواتب هذا القسم قريبة جدًا من المتوسط ​​، وبالتالي يحصل معظم الموظفين على تعويض مماثل.

من جانبه ، في القسم ب ، يتبع منحنى الأجور التوزيع الطبيعي ، حيث أن المنحنى هو mesocurtic ، حيث نفترض أن الأجور تم توزيعها بشكل عشوائي.

وأخيرًا لدينا المنحنى C وهو مسطح جدًا ، مما يشير إلى أن نطاق الراتب في هذا القسم أوسع بكثير من غيره.

نتائج الامتحان

افترض الآن أن المنحنيات الثلاثة في الشكل 2 تمثل نتائج امتحان تم تطبيقه على ثلاث مجموعات من الطلاب في نفس المادة.

المجموعة التي يتم تمثيل تصنيفاتها بواسطة منحنى Leptokurtic متجانسة تمامًا ، وحصلت الغالبية على تصنيف متوسط ​​أو قريب.

من الممكن أيضًا أن تكون النتيجة بسبب أسئلة الاختبار التي تحتوي على نفس درجة الصعوبة تقريبًا.

من ناحية أخرى ، تشير نتائج المجموعة (ج) إلى عدم تجانس أكبر في المجموعة ، والتي ربما تحتوي على طلاب متوسطين ، وبعض الطلاب الأكثر حظًا وبعض الطلاب الأقل انتباهاً بالتأكيد.

أو قد يعني أن أسئلة الاختبار بها درجات مختلفة جدًا من الصعوبة.

المنحنى B عبارة عن علاج متوسط ​​، يدل على أن نتائج الاختبار اتبعت التوزيع الطبيعي. عادة ما تكون هذه هي الحالة الأكثر شيوعًا.

مثال عملي على التفرطح

ابحث عن معامل تسجيل درجات فيشر للصفوف التالية ، التي تم الحصول عليها في امتحان الفيزياء لمجموعة من الطلاب ، بمقياس من 1 إلى 10:

المحلول

سيتم استخدام التعبير التالي للبيانات غير المجمعة ، الواردة في الأقسام السابقة:

K = ز ₂ - 3

تتيح لك هذه القيمة معرفة نوع التوزيع.

لحساب g _{2 ، من} الملائم القيام بذلك بطريقة منظمة ، خطوة بخطوة ، حيث يجب حل العديد من العمليات الحسابية.

الخطوة 1

أولاً ، يتم حساب متوسط ​​الدرجات. يوجد N = 11 بيانات.

الخطوة 2

تم العثور على الانحراف المعياري ، والذي تستخدم فيه هذه المعادلة:

σ = 1.992

أو يمكنك أيضًا إنشاء جدول ، وهو أمر مطلوب أيضًا للخطوة التالية ويتم فيه كتابة كل مصطلح من الملخصات المطلوبة ، بدءًا من (x _i - X) ، ثم (x _i - X) ² ثم (س _ط - س) ⁴:

الخطوه 3

نفذ المجموع الموضح في بسط صيغة g ₂. لهذا ، يتم استخدام نتيجة العمود الأيمن من الجدول السابق:

∑ (س _ط - س) ⁴ = 290.15

هكذا:

ز ₂ = (1/11) × 290.15 / 1.992 ⁴ = 1.675

معامل التأشير فيشر هو:

K = ز ₂ - = 3 1،675-3 = -1.325

ما يهم هو علامة النتيجة ، والتي ، كونها سلبية ، تتوافق مع التوزيع البلاتيني ، والذي يمكن تفسيره كما تم في المثال السابق: ربما يكون مقررًا غير متجانس مع طلاب بدرجات مختلفة من الاهتمام أو كانت أسئلة الاختبار مستويات مختلفة من الصعوبة.

إن استخدام جدول بيانات مثل Excel يسهل بشكل كبير حل هذه الأنواع من المشاكل ويوفر أيضًا خيار الرسم البياني للتوزيع.

المراجع

1. ليفين ، ر. 1988. إحصائيات للمسؤولين. الثاني. الإصدار. برنتيس هول.
2. ماركو ، ف. تم الاسترجاع من: Economipedia.com.
3. Oliva، J. عدم التناسق والتفرطح. تم الاسترجاع من: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. سبور ، دبليو 1982. صنع القرار في الإدارة. ليموزا.
5. ويكيبيديا. التفرطح. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org.